O iodo-131 é um isótopo radioativo muito utilizado para ajudar a detectar o bom funcionamento da tiroide. Suponha que o decaimento do iodo-131 segue o modelo dado acima e que a meia-vida (o tempo que leva para metade da substância se decompor) do iodo-131 é de aproximadamente 8 dias. Qual é o tempo necessário para que a quantidade de Iodo-131 seja de
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de decadimento radioativo envolvendo o iodo-131. A meia-vida desse isótopo é de aproximadamente 8 dias, ou seja, é o tempo que leva para a quantidade de iodo-131 reduzir para metade da inicial. A pergunta é: Quanto tempo é necessário para que a quantidade de iodo-131 chegue a 0,1 g?
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que descreve o decaimento radioativo. A quantidade de uma substância radioativa que resta após um certo tempo pode ser calculada usando a seguinte equação:
Onde:
-
é a quantidade restante após o tempo . -
é a quantidade inicial da substância. -
é a meia-vida da substância. -
é o tempo decorrido.
Passo 3
Na nossa questão, queremos encontrar o tempo
necessário para que a quantidade de iodo-131 alcance 0,1 g. Vamos reorganizar a fórmula para resolver
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados para facilitar a resolução:
Isolando
:
Passo 4
Agora, precisamos saber o valor inicial
. A questão não especifica, então vamos supor que começamos com uma quantidade
g para facilitar os cálculos. Queremos encontrar
quando
g.
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 5
Calculando os logaritmos:
Substituindo de volta na equação:
Resposta
O tempo necessário para que a quantidade de iodo-131 seja de 0,1 g é aproximadamente 26,6 dias.
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Nos problemas abaixo, identifique (mas não resolva) a equação, como Homogênea, Bernoulli ou G(ax+by).
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Nos Exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada.