O iodo-131 é um isótopo radioativo muito utilizado para ajudar a detectar o bom funcionamento da tiroide. Suponha que o decaimento do iodo-131 segue o modelo dado acima e que a meia-vida (o tempo que leva para metade da substância se decompor) do iodo-131 é de aproximadamente 8 dias. Qual é o tempo necessário para que a quantidade de Iodo-131 seja de ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de decadimento radioativo envolvendo o iodo-131. A meia-vida desse isótopo é de aproximadamente 8 dias, ou seja, é o tempo que leva para a quantidade de iodo-131 reduzir para metade da inicial. A pergunta é: Quanto tempo é necessário para que a quantidade de iodo-131 chegue a 0,1 g?

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que descreve o decaimento radioativo. A quantidade de uma substância radioativa que resta após um certo tempo pode ser calculada usando a seguinte equação:
Onde:
  • é a quantidade restante após o tempo .
  • é a quantidade inicial da substância.
  • é a meia-vida da substância.
  • é o tempo decorrido.

Passo 3

Na nossa questão, queremos encontrar o tempo necessário para que a quantidade de iodo-131 alcance 0,1 g. Vamos reorganizar a fórmula para resolver :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados para facilitar a resolução:
Isolando :

Passo 4

Agora, precisamos saber o valor inicial . A questão não especifica, então vamos supor que começamos com uma quantidade g para facilitar os cálculos. Queremos encontrar quando g.
Substituindo os valores na fórmula:

Passo 5

Calculando os logaritmos:
Substituindo de volta na equação:

Resposta

O tempo necessário para que a quantidade de iodo-131 seja de 0,1 g é aproximadamente 26,6 dias.

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Nos problemas abaixo, identifique (mas não resolva) a equação, como Homogênea, Bernoulli ou G(ax+by).
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Nos Exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada.