Um ioiô é construido a partir de dois discos de massa m e raio R, os quais são unidos por um pequeno eixo cilındrico de massa desprezável e raio b. Enrola-se um fio de massa desprezıvel em torno do eixo e liberta-se o ioiô na vertical a partir do repouso.
Determine a aceleração angular do ioiô.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ioiô feito de dois discos, cada um com massa $ m $ e raio $ R $, conectados por um eixo cilíndrico bem pequeno que a gente pode ignorar a massa. Tem um fio enrolado nesse eixo e quando soltamos o ioiô, ele começa a girar e descer. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a aceleração angular $ \alpha $ do ioiô. A matéria que vamos usar aqui é a Dinâmica Rotacional, especificamente conceitos de torque e momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. O momento de inércia $ I $ é uma medida de quanta resistência um objeto oferece à mudança em seu movimento de rotação. Para um disco, o momento de inércia em relação ao eixo central é dado por:
I
Como temos dois discos, o momento de inércia total $ I_{total} $ será:
Idisco = 12 m R^2

Passo 3

Agora, vamos pensar no torque $ \tau $ que está fazendo o ioiô girar. Torque é basicamente uma força que causa rotação, e é calculado por:
tau
No nosso caso, a força é a tensão $ T $ no fio e o braço de alavanca é o raio do eixo $ b $. Então:
tau = r times F

Passo 4

De acordo com a segunda lei de Newton para rotação, o torque total é igual ao momento de inércia multiplicado pela aceleração angular:
tau = I alpha
Substituindo o torque que calculamos:
b T = m R^2 alpha
Então, temos uma relação entre a tensão no fio, a aceleração angular e os parâmetros do ioiô.

Passo 5

Precisamos encontrar uma outra equação que relacione a tensão $ T $ com a massa e a aceleração linear. Quando o ioiô desce, a força que age nele é o peso $ m g $ menos a tensão $ T $:
T
Onde $ a $ é a aceleração linear do ioiô.

Passo 6

Sabemos que a aceleração linear $ a $ está relacionada com a aceleração angular $ \alpha $ pelo raio do eixo:
a
Agora, substituímos $ a $ na equação anterior:
alpha

Passo 7

Vamos voltar à equação do torque:
b T = m R^2 alpha
Isolando $ T $:
T
Agora, substituímos $ T $ na equação $ m g - T = m b \alpha $:
T = m R^2 alphab

Passo 8

Vamos resolver para $ \alpha $:
alpha
Podemos dividir ambos os lados por $ m $:
m g = m b alpha + m R^2 alphab
Fatorando $ \alpha $:
m
g = b alpha + R^2 alphab
Então:
alpha

Resposta

A aceleração angular do ioiô é:
alpha = g bb^2 + R^2

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