O que acontece quando uma força externa do tipo
, onde
é uma constante (chamada constante de amortecimento) age sobre o sistema massa-mola? Nessas condições,a força externa em questão é dita ser uma força de amortecimento. Quais são os efeitos da força de amortecimento sobre a amplitude de movimento
e a energia mecânica
do sistema? Ilustre através de gráficos o comportamento da amplitude
em função do tempo
. Explique como o gráfico de
depende da relação entre
e
. Um sistema mecânico como o sistema massa-mola com a presença de uma força externa adicional de amortecimento é chamado um oscilador harmônico amortecido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema massa-mola que está recebendo uma força externa do tipo $ F = -b v = -b \frac{dx}{dt} $. Aqui, $ b $ é a constante de amortecimento. O conteúdo que vamos usar é o de oscilações amortecidas em física, que envolve entender como as forças de resistência (como o atrito) afetam o movimento e a energia do sistema. Precisamos saber sobre as equações de movimento para sistemas massa-mola e como resolver equações diferenciais que incluem termos de amortecimento.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação de movimento para o sistema massa-mola com a força de amortecimento. A segunda lei de Newton nos dá:
Aqui, $ m $ é a massa, $ k $ é a constante da mola, $ x $ é a posição, e $ b $ é a constante de amortecimento. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que descreve oscilações amortecidas.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, encontramos a frequência natural sem amortecimento:
Com amortecimento, definimos o coeficiente de amortecimento crítico:
A solução geral da equação depende do valor de $ \gamma $ em relação a $ \omega_0 $:
- Subamortecido ($ \gamma < \omega_0 $): O sistema oscila com amplitude decrescente.
- Criticamente amortecido ($ \gamma = \omega_0 $): O sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar.
- Superamortecido ($ \gamma > \omega_0 $): O sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, mas mais lentamente que no caso criticamente amortecido.
Vamos focar no caso subamortecido, que é o mais comum em oscilações harmônicas amortecidas.
Passo 4
No caso subamortecido, a solução para $ x(t) $ é:
Onde:
- $ A $ é a amplitude inicial,
- $ \gamma = \frac{b}{2m} $ é o coeficiente de amortecimento,
- $ \omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} $ é a frequência angular amortecida,
- $ \phi $ é a fase inicial.
Essa expressão mostra que a amplitude decresce exponencialmente com o tempo devido ao termo $ e^{-\gamma t} $.
Passo 5
Agora, vamos ver o efeito no energia mecânica $ E $ do sistema. A energia mecânica em um sistema oscilatório é dada por:
Como a amplitude $ A $ está decrescendo com o tempo, a energia também diminui. Especificamente, como $ A(t) = A e^{-\gamma t} $, a energia será:
Isso mostra que a energia mecânica decai exponencialmente no tempo devido ao amortecimento.
Passo 6
Vamos ilustrar o comportamento da amplitude $ x(t) $ em função do tempo $ t $. No gráfico de $ x \times t $, veremos oscilações que se vão tornando menores à medida que o tempo passa, devido ao fator $ e^{-\gamma t} $. A frequência das oscilações é $ \omega $, que depende da relação entre $ \omega_0 $ e $ b $.
Passo 7
A relação entre $ \omega $ (a frequência amortecida) e $ b $ (a constante de amortecimento) determina o tipo de amortecimento:
- Se $ b $ é pequeno ($ \gamma < \omega_0 $), temos oscilações decrescentes rapidamente.
- Se $ b $ é grande ($ \gamma > \omega_0 $), o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar.
- Se $ b $ é exatamente tal que $ \gamma = \omega_0 $, o sistema retorna ao equilíbrio no menor tempo possível sem oscilar.
Isso afeta diretamente como o gráfico de $ x \times t $ se comporta: com amortecimento fraco, as oscilações persistem por mais tempo; com amortecimento forte, o sistema se acalma rapidamente.
Resposta
A força de amortecimento faz com que a amplitude do movimento $ x(t) $ diminua exponencialmente com o tempo, ou seja, $ x(t) = A e^{-\gamma t} \cos(\omega t + \phi) $, e a energia mecânica $ E(t) $ do sistema também decai exponencialmente, $ E(t) = \frac{1}{2} k A^2 e^{-2\gamma t} $. Nos gráficos de $ x \times t $, observamos oscilações que se reduzem progressivamente, e esse comportamento depende da relação entre a frequência natural $ \omega_0 $ e a constante de amortecimento $ b $, determinando se o sistema é subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido.