Um ioiô é construido a partir de dois discos de massa m e raio R, os quais são unidos por um pequeno eixo cilındrico de massa desprezável e raio b. Enrola-se um fio de massa desprezıvel em torno do eixo e liberta-se o ioiô na vertical a partir do repouso.
Determine a aceleração do centro de massa do ioiô.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um ioiô feito de dois discos de massa m e raio R, conectados por um eixo cilíndrico bem fino de raio b e massa desprezível. A gente enrola um fio sem massa ao redor desse eixo e solta o ioiô de repouso na vertical. A missão aqui é encontrar qual é a aceleração do centro de massa desse ioiô enquanto ele desce.
Pra resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de força, torque e movimento rotacional da física. Vamos precisar entender como a força do fio faz o ioiô girar e como isso afeta a aceleração dele.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam no ioiô. Quando o ioiô é solto, a única força que faz ele descer é a força da gravidade, que puxa para baixo com uma força igual ao peso do ioiô, Fg = 2m g (já que são dois discos). Além disso, o fio exerce uma força de tensão T para cima.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para o movimento translacional do centro de massa do ioiô. A força resultante é a diferença entre a força gravitacional e a tensão no fio:
Sigma F = 2m g - T = 2m a
Aqui, a é a aceleração do centro de massa que queremos encontrar.

Passo 4

Mas não é só isso! O ioiô também está girando enquanto desce, então precisamos considerar o torque causado pela tensão no fio. O torque ( tau) é dado por:
tau = T cdot b
Esse torque vai causar uma aceleração angular ( alpha) no ioiô.

Passo 5

Para ligar a aceleração linear ( a) e a aceleração angular ( alpha), usamos a relação:
a = b alpha
Além disso, a segunda lei de Newton para rotação nos diz que:
tau = I alpha
Onde I é o momento de inércia do ioiô.

Passo 6

Vamos calcular o momento de inércia ( I) do ioiô. Como são dois discos, o momento de inércia de cada um é:
Idisco = 12 m R^2
Então, para dois discos:
I = 2 cdot 12 m R^2 = m R^2

Passo 7

Agora, substituímos I na equação do torque:
T cdot b = m R^2 alpha
E, lembrando que a = b alpha, podemos substituir alpha:
T cdot b = m R^2 cdot ab
Simplificando:
T = m R^2 ab^2

Passo 8

Voltemos à equação da força:
2m g - T = 2m a
Substituindo T:
2m g - m R^2 ab^2 = 2m a
Agora, vamos resolver para a.

Passo 9

Vamos isolar a:
2m g = 2m a + m R^2 ab^2
Dividindo todos os termos por m:
2 g = 2 a + R^2 ab^2
Fatorando a:
2 g = a (2 + R^2b^2)
Finalmente, isolamos a:
a = 2 g2 + R^2b^2

Resposta

A aceleração do centro de massa do ioiô é:
a = 2 g2 + dfracR^2b^2

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