Um ioiô é construido a partir de dois discos de massa
e raio
, os quais são unidos por um pequeno eixo cilındrico de massa desprezável e raio
. Enrola-se um fio de massa desprezıvel em torno do eixo e liberta-se o ioiô na vertical a partir do repouso.
Determine a aceleração do centro de massa do ioiô.
Determine a aceleração do centro de massa do ioiô.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um ioiô feito de dois discos de massa
e raio
, conectados por um eixo cilíndrico bem fino de raio
e massa desprezível. A gente enrola um fio sem massa ao redor desse eixo e solta o ioiô de repouso na vertical. A missão aqui é encontrar qual é a aceleração do centro de massa desse ioiô enquanto ele desce.
Pra resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de força, torque e movimento rotacional da física. Vamos precisar entender como a força do fio faz o ioiô girar e como isso afeta a aceleração dele.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam no ioiô. Quando o ioiô é solto, a única força que faz ele descer é a força da gravidade, que puxa para baixo com uma força igual ao peso do ioiô,
(já que são dois discos). Além disso, o fio exerce uma força de tensão
para cima.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para o movimento translacional do centro de massa do ioiô. A força resultante é a diferença entre a força gravitacional e a tensão no fio:
Aqui,
é a aceleração do centro de massa que queremos encontrar.
Passo 4
Mas não é só isso! O ioiô também está girando enquanto desce, então precisamos considerar o torque causado pela tensão no fio. O torque (
) é dado por:
Esse torque vai causar uma aceleração angular (
) no ioiô.
Passo 5
Para ligar a aceleração linear (
) e a aceleração angular (
), usamos a relação:
Além disso, a segunda lei de Newton para rotação nos diz que:
Onde
é o momento de inércia do ioiô.
Passo 6
Vamos calcular o momento de inércia (
) do ioiô. Como são dois discos, o momento de inércia de cada um é:
Então, para dois discos:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação do torque:
E, lembrando que
, podemos substituir
:
Simplificando:
Passo 8
Voltemos à equação da força:
Substituindo
:
Agora, vamos resolver para
.
Passo 9
Vamos isolar
:
Dividindo todos os termos por
:
Fatorando
:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A aceleração do centro de massa do ioiô é: