Os irmãos e Y, aos 10 e 14 anos de idade, respectivamente, receberam uma herança de R que foi dividida entre eles, em duas partes aplicadas a uma taxa fixa de juros simples de 10% ao ano. Sobre a aplicação de cada irmão, sabe-se que
  • nenhum depósito ou saque poderá ser feito até que o mesmo complete 18 anos;
  • o montante da aplicação de , quando este completar 18 anos, será o mesmo da aplicação de , quando este completar 18 anos.
    Assim, é verdade que
    a) recebeu de herança .
    b) recebeu de herança .
    c) a razão entre os valores recebidos de herança por Y e X é .
    d) o montante da aplicação de deverá ser R$98 000,00, quando Y completar 18 anos.
    e) o montante de sua aplicação deverá ser , quando completar 18 anos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois irmãos, X e Y, que receberam uma herança total de R$ 160.000,00. Essa grana foi dividida em duas partes e aplicada em juros simples de 10% ao ano. Precisamos descobrir como essa herança foi dividida entre eles, sabendo que o montante das aplicações será igual quando cada um completar 18 anos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de juros simples e proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a idade de cada irmão agora e quanto tempo falta para eles completarem 18 anos. O irmão X tem 10 anos, então faltam 8 anos para ele completar 18. Já o irmão Y tem 14 anos, faltando 4 anos para os 18. Isso é importante porque o tempo que o dinheiro ficará investido é diferente para cada um.

Passo 3

Vamos chamar a parte da herança que o irmão X recebeu de e a parte que o irmão Y recebeu de . Sabemos que juntos eles receberam R$ 160.000,00, então podemos escrever:

Passo 4

Agora, vamos calcular o montante que cada um terá quando completar 18 anos usando a fórmula de juros simples:
Onde:
  • é o montante final,
  • é o principal (valor inicial),
  • é a taxa de juros (10% ou 0,10),
  • é o tempo em anos.

Passo 5

Aplicando para o irmão X, que terá o dinheiro investido por 8 anos:
Para o irmão Y, com 4 anos de investimento:

Passo 6

Segundo o enunciado, os montantes serão iguais quando cada um completar 18 anos:
Substituindo as expressões:

Passo 7

Vamos expressar em função de usando a equação do Passo 3:
Substituindo na equação do Passo 6:

Passo 8

Agora, resolvemos a equação para encontrar :
Somando dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 3,20:

Passo 9

Com , encontramos :

Passo 10

Agora, vamos verificar as opções:
a) recebeu R$ 65.000,00 — Falsa
b) recebeu R$ 85.000,00 — Falsa
c) A razão Falsa
d) Montante de quando completar 18 anos:
Como completa 18 em 4 anos, terá 14 anos, mas já calculamos o montante de em 8 anos que é:
Então, Falsa
e) Montante de quando ele completar 18 anos:
Portanto, Falsa

Resposta

Nenhuma das alternativas apresentadas está correta com base nos cálculos realizados.

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c) .
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