C. isidere a hipérbole de equação 4 x^2-7 y^2=392 e a parábola de equação y^2=4 x. Estas duas cônicas se intersectam em dois pontos P1=(s1, y1) e P2=(x2, y2). Assim o valor de x1+x2+y1+y2 é:
a. 0
b. -15
c. -28
d. 16
e. 28
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas figuras geométricas: uma hipérbole com a equação e uma parábola com a equação . Nosso objetivo é encontrar os pontos onde essas duas cônicas se cruzam e, em seguida, calcular a soma das coordenadas desses pontos . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações de hipérbole, parábola e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema de equações formado pela hipérbole e pela parábola. Temos:
4x^2 - 7y^2 = 392 y^2 = 4x
Como a segunda equação já expressa em função de , podemos substituí-la na primeira equação para encontrar .

Passo 3

Substituindo 4x^2 - 7(4x) = 392 na equação da hipérbole:
4x^2 - 28x = 392
Simplificando:
4x^2 - 28x - 392 = 0
Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
x^2 - 7x - 98 = 0
Podemos dividir todos os termos por 4 para simplificar ainda mais:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática x = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
De
Onde, neste caso, raiz441 = 21 , x = 7 pm 212 e x1 = 7 + 212 = 14 e x2 = 7 - 212 = -7 . Calculando o discriminante ( ):
Extraindo a raiz quadrada de 441:
Então, as soluções para são:
Isso nos dá duas possibilidades:

Passo 5

Agora que temos os valores de y^2 = 4 cdot 14 = 56 implies y = raiz56 ou y = -raiz56 , vamos encontrar os correspondentes valores de y^2 = 4 cdot (-7) = -28 usando a equação da parábola .
Para :
Para :
Aqui, percebemos que não pode ser negativo, o que significa que não existem soluções reais para . Portanto, o único ponto de intersecção real é quando , com e .

Passo 6

Agora, identificamos os pontos de intersecção:
P1 = (14, raiz56) e P2 = (14, -raiz56)
Vamos calcular a soma das coordenadas desses pontos:
x1 + x2 + y1 + y2 = 14 + 14 + raiz56 - raiz56 = 28

Resposta

28

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