C. isidere a hipérbole de equação
e a parábola de equação
. Estas duas cônicas se intersectam em dois pontos
e
. Assim o valor de
é:
a. 0
b. -15
c. -28
d. 16
e. 28
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a. 0
b. -15
c. -28
d. 16
e. 28
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas figuras geométricas: uma hipérbole com a equação
e uma parábola com a equação
. Nosso objetivo é encontrar os pontos onde essas duas cônicas se cruzam e, em seguida, calcular a soma das coordenadas desses pontos
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações de hipérbole, parábola e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema de equações formado pela hipérbole e pela parábola. Temos:
Como a segunda equação já expressa
em função de
, podemos substituí-la na primeira equação para encontrar
.
Passo 3
Substituindo
na equação da hipérbole:
Simplificando:
Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Podemos dividir todos os termos por 4 para simplificar ainda mais:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde, neste caso,
,
e
. Calculando o discriminante (
):
Extraindo a raiz quadrada de 441:
Então, as soluções para
são:
Isso nos dá duas possibilidades:
Passo 5
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar os correspondentes valores de
usando a equação da parábola
.
Para
:
Para
:
Aqui, percebemos que
não pode ser negativo, o que significa que não existem soluções reais para
. Portanto, o único ponto de intersecção real é quando
, com
e
.
Passo 6
Agora, identificamos os pontos de intersecção:
Vamos calcular a soma das coordenadas desses pontos:
Resposta
28