Determinar se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique adequadamente.
No plano, a equação cartesiana da hipérbole centrada na origem com focos em (7,0)(-7,0) com exentricidade e=2 raiz134 é -x^29+y^24=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre hipérboles no plano cartesiano. A gente precisa verificar se a equação dada realmente representa uma hipérbole com os focos e a excentricidade informados. Para resolver isso, vamos lembrar das características das hipérboles e usar algumas fórmulas básicas.

Passo 2

Primeiro, uma hipérbole centrada na origem com focos no eixo x tem a equação padrão:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Aqui, é a distância do centro aos vértices, e está relacionado à abertura da hipérbole. Os focos estão localizados em , onde .

Passo 3

No enunciado, os focos estão em e = ca e raiz132 = 7a Rightarrow a = 7 times 2raiz13 = 14raiz13 = 14raiz1313 . Isso significa que . Também foi dado que a excentricidade .
A excentricidade de uma hipérbole é dada por:
Então, podemos encontrar :

Passo 4

Agora, vamos encontrar 7^2 = (14raiz1313)^2 + b^2 49 = 196 times 13169 + b^2 49 = 2548169 + b^2 b^2 = 49 - 2548169 = 49 times 169 - 2548169 = 8281 - 2548169 = 5733169 = 34 usando a relação :
Então, .

Passo 5

Agora que temos x^2(14raiz1313)^2 - y^234 = 1 x^2196 times 13169 - y^234 = 1 x^22548169 - y^234 = 1 169x^22548 - y^234 = 1 x^215.08 - y^234 = 1 e , podemos escrever a equação da hipérbole:

Passo 6

Vamos comparar com a equação dada no enunciado:
-x^29 + y^24 = 4
Primeiro, podemos rearranjar a equação do enunciado para a forma padrão dividindo ambos os lados por 4:
-x^236 + y^216 = 1 y^216 - x^236 = 1
Isso representa uma hipérbole com os focos no eixo y, diferente do que foi dado no enunciado (focos no eixo x).

Resposta

Falsa. A equação fornecida não corresponde a uma hipérbole com focos em e e excentricidade .

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