Determinar se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique adequadamente.
No plano, a equação cartesiana da hipérbole centrada na origem com focos em
com exentricidade
é
.
No plano, a equação cartesiana da hipérbole centrada na origem com focos em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre hipérboles no plano cartesiano. A gente precisa verificar se a equação dada realmente representa uma hipérbole com os focos e a excentricidade informados. Para resolver isso, vamos lembrar das características das hipérboles e usar algumas fórmulas básicas.
Passo 2
Primeiro, uma hipérbole centrada na origem com focos no eixo x tem a equação padrão:
Aqui,
é a distância do centro aos vértices, e
está relacionado à abertura da hipérbole. Os focos estão localizados em
, onde
.
Passo 3
No enunciado, os focos estão em
e
. Isso significa que
. Também foi dado que a excentricidade
.
A excentricidade de uma hipérbole é dada por:
Então, podemos encontrar
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
usando a relação
:
Então,
.
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos escrever a equação da hipérbole:
Passo 6
Vamos comparar com a equação dada no enunciado:
Primeiro, podemos rearranjar a equação do enunciado para a forma padrão dividindo ambos os lados por 4:
Isso representa uma hipérbole com os focos no eixo y, diferente do que foi dado no enunciado (focos no eixo x).
Resposta
Falsa. A equação fornecida não corresponde a uma hipérbole com focos em
e
e excentricidade
.