Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: integral0^1 integral-e^x^e^x y^3 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular uma integral iterada, que basicamente é uma integral dentro de outra integral, e também desenhar a região definida pelos limites de integração. O enunciado é:
integral0^1 integral-e^x^e^x y^3 , dy , dx
Então, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, pra resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral mais interna, que é a integral em relação a integral-e^x^e^x y^3 , dy . Ou seja, vamos calcular:
y^44
A função que vamos integrar é [ y^44 ]-e^x^e^x = (e^x)^44 - (-e^x)^44 . A antiderivada de é:
Então, aplicando os limites de a :

Passo 3

Vamos simplificar isso agora. Sabemos que e^4x4 - e^4x4 = 0 , porque qualquer número negativo elevado a uma potência par fica positivo. Então:
Isso significa que a integral interna resulta em zero para qualquer valor de .

Passo 4

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^1 0 , dx
Integrar zero em qualquer intervalo sempre dá zero, então:
0

Resposta

A integral iterada é igual a 0.

Esboço da Região

A região de integração é definida por indo de 0 a 1, e para cada , varia de a . Isso forma uma área simétrica em torno do eixo , entre e , com os limites superiores e inferiores sendo as curvas e , respectivamente.

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