Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular uma integral iterada, que basicamente é uma integral dentro de outra integral, e também desenhar a região definida pelos limites de integração. O enunciado é:
Então, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, pra resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral mais interna, que é a integral em relação a
. Ou seja, vamos calcular:
A função que vamos integrar é
. A antiderivada de
é:
Então, aplicando os limites de
a
:
Passo 3
Vamos simplificar isso agora. Sabemos que
, porque qualquer número negativo elevado a uma potência par fica positivo. Então:
Isso significa que a integral interna resulta em zero para qualquer valor de
.
Passo 4
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Integrar zero em qualquer intervalo sempre dá zero, então:
Resposta
A integral iterada
é igual a 0.
Esboço da Região
A região de integração é definida por
indo de 0 a 1, e para cada
,
varia de
a
. Isso forma uma área simétrica em torno do eixo
, entre
e
, com os limites superiores e inferiores sendo as curvas
e
, respectivamente.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: