Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla e desenhar a região definida pelos limites de integração. A matéria aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais iteradas. Para resolver, vamos precisar integrar a função
primeiro em relação a
e depois em relação a
, nos intervalos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte interna da integral:
. Aqui, tratamos
como uma constante em relação a
, já que estamos integrando em
.
Passo 3
Vamos integrar
em relação a
. A integral de
é
, então:
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
:
Passo 5
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar
, então
. Quando
,
; quando
,
também.
Então, a integral fica:
Passo 6
Quanto ao esboço da região, os limites estão entre
e
, e para cada
,
varia de 0 até
. Isso forma uma região abaixo da curva
no intervalo de
de 0 a
.
Passo 7
Então, resumindo, a área que estamos olhando é a área sob a curva seno entre 0 e
, e a integral avaliou o valor dessa área multiplicada por
, que acabou sendo zero.
Resposta
A integral dupla vale 0.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Considere a integral dupla
, onde
é a região do plano
delimitada pela parábola
e a reta
.
b) Agora, argumente porque o valor de pode ser obtido sem realizar nenhum cálculo explicíto.
b) Agora, argumente porque o valor de
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
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