Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: integral0^pi integral0^sen x y cos x d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla e desenhar a região definida pelos limites de integração. A matéria aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais iteradas. Para resolver, vamos precisar integrar a função primeiro em relação a e depois em relação a , nos intervalos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral: . Aqui, tratamos como uma constante em relação a , já que estamos integrando em .

Passo 3

Vamos integrar integral0^sin x y cos x , dy = cos x [ y^22 ]0^sin x = cos x ( (sin x)^22 - 0 ) = cos x sin^2 x2 em relação a . A integral de é , então:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral0^pi cos x sin^2 x2 , dx = 12 integral0^pi cos x sin^2 x , dx :

Passo 5

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar 12 integral0^0 u^2 , du = 12 times 0 = 0 , então . Quando , ; quando , também.
Então, a integral fica:

Passo 6

Quanto ao esboço da região, os limites estão entre e , e para cada , varia de 0 até . Isso forma uma região abaixo da curva no intervalo de de 0 a .

Passo 7

Então, resumindo, a área que estamos olhando é a área sob a curva seno entre 0 e , e a integral avaliou o valor dessa área multiplicada por , que acabou sendo zero.

Resposta

A integral dupla vale 0.

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