Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: integral0^4 integral0^2 raizy x sen(y^2) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . Isso envolve cálculo de integrais iteradas, que é uma parte da matéria de cálculo integral. Para resolver, precisamos entender como integrar funções de duas variáveis e como visualizar a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a integral0^2 raizy x sen(y^2) , dx . Nessa parte, consideramos sen(y^2) integral0^2 raizy x , dx como uma constante. A integral interna é:
Aqui, é uma constante em relação a integral x , dx = x^22 , então podemos fatorar:
Agora, integramos (2raizy)^22 - 0^22 = 4y2 = 2y em relação a sen(y^2) times 2y = 2y sen(y^2) :
Avaliando de a :
Então, a integral interna fica:

Passo 3

Agora, integramos o resultado da integral interna em relação a integral0^4 2y sen(y^2) , dy :
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar integralu=0^u=16 sen(u) , du , então -cos(u) |0^16 = -cos(16) + cos(0) = 1 - cos(16) . Isso simplifica a integral para:
A integral de em relação a é , então:

Passo 4

Agora, vamos esboçar a região de integração determinada pelos limites. Os limites para vão de a e, para cada , varia de a . Essa região é uma área no plano onde, para cada valor de , começa em e vai até a curva . Se desenharmos isso, teremos uma curva que começa na origem e sobe para a direita, formando uma região que se estende até .

Resposta

A integral dupla vale .

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