Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . Isso envolve cálculo de integrais iteradas, que é uma parte da matéria de cálculo integral. Para resolver, precisamos entender como integrar funções de duas variáveis e como visualizar a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a . Nessa parte, consideramos como uma constante. A integral interna é:
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos fatorar:
Agora, integramos em relação a :
Avaliando de a :
Então, a integral interna fica:

Passo 3

Agora, integramos o resultado da integral interna em relação a :
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar , então . Isso simplifica a integral para:
A integral de em relação a é , então:

Passo 4

Agora, vamos esboçar a região de integração determinada pelos limites. Os limites para vão de a e, para cada , varia de a . Essa região é uma área no plano onde, para cada valor de , começa em e vai até a curva . Se desenharmos isso, teremos uma curva que começa na origem e sobe para a direita, formando uma região que se estende até .

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

Considere a integral dupla , onde é a região do plano delimitada pela parábola e a reta .
b) Agora, argumente porque o valor de pode ser obtido sem realizar nenhum cálculo explicíto.
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: