Nos itens abaixo, determine o domínio, descreva as curvas de nível e represente graficamente as superfícies
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o domínio, descrever as curvas de nível e representar graficamente a superfície da função
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de domínio de funções, curvas de nível e representação gráfica de superfícies. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de
e
que fazem a função
ser definida.
A função dada é
. A expressão
sempre resulta em um número real não negativo, então
será definido para todos os valores de
onde
é real. Não há restrições para
, já que
não aparece na função.
Portanto, o domínio é:
Ou seja, todos os pares de números reais
e
.
Passo 3
Agora, vamos descrever as curvas de nível da função. As curvas de nível são as curvas no plano
onde a função
assume valores constantes. Para encontrar essas curvas, fixamos
, onde
é uma constante, e resolvemos para
.
Então, temos:
Resolvendo para
:
Isso implica que:
As curvas de nível são linhas horizontais em
e
para diferentes valores de
.
Passo 4
Por último, vamos representar graficamente a superfície da função
.
Sabemos que
depende apenas de
, então a superfície é independente de
. Isso significa que, para cada valor de
, a função retorna um valor constante em todas as direções de
.
Além disso, como
, a superfície atinge o valor máximo de 1 quando
e desce linearmente em direção ao menor valor conforme
aumenta. A superfície tem a forma de uma “placa” horizontal que desce em duas direções a partir do ponto mais alto em
.
Resposta
O domínio da função
é todo o plano
. As curvas de nível são linhas horizontais em
e
para diferentes constantes
. A superfície gráfica de
é uma placa horizontal que atinge seu ponto mais alto em
(valor máximo 1) e desce linearmente em ambas as direções conforme
aumenta.