Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de f :
(k) z = x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função usando as curvas de nível dessa função. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, mais especificamente sobre superfícies e suas representações gráficas. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas ajudam a desenhar o gráfico de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função assume um valor constante. No nosso caso, a função é . Isso significa que para diferentes valores de , teremos diferentes curvas no plano .

Passo 3

Vamos fixar alguns valores para e ver como fica a equação. Por exemplo, se , onde é uma constante, então . Resolvendo para , temos ou . Isso mostra que para cada valor de , a curva de nível será duas linhas verticais paralelas ao eixo , uma em e outra em .

Passo 4

Vamos visualizar isso com alguns valores específicos de :
  • Para : . A curva de nível é apenas a linha , que é o eixo .
  • Para : e . As curvas de nível são duas linhas verticais em e .
  • Para : e . As curvas de nível são duas linhas verticais em e .
  • E assim por diante…

Passo 5

Agora, para esboçar o gráfico de , vamos imaginar várias dessas curvas de nível empilhadas umas sobre as outras conforme aumenta. Como só depende de , o gráfico será uma parabola estendida ao longo do eixo . Em outras palavras, é uma superfície parabólica que se abre para cima, com a concavidade no eixo .

Passo 6

Juntando tudo, o gráfico de será uma superfície onde, para cada valor de , as curvas de nível são duas linhas verticais paralelas ao eixo . Essa superfície é chamada de paraboloide circular.

Resposta

O gráfico de é uma paraboloide circular que se abre para cima, formada por curvas de nível que são duas linhas verticais paralelas ao eixo para cada valor constante de .

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