Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de
:
(k)
(k)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função
usando as curvas de nível dessa função. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, mais especificamente sobre superfícies e suas representações gráficas. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas ajudam a desenhar o gráfico de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são linhas no plano
onde a função
assume um valor constante. No nosso caso, a função é
. Isso significa que para diferentes valores de
, teremos diferentes curvas no plano
.
Passo 3
Vamos fixar alguns valores para
e ver como fica a equação. Por exemplo, se
, onde
é uma constante, então
. Resolvendo para
, temos
ou
. Isso mostra que para cada valor de
, a curva de nível será duas linhas verticais paralelas ao eixo
, uma em
e outra em
.
Passo 4
Vamos visualizar isso com alguns valores específicos de
:
- Para
: . A curva de nível é apenas a linha , que é o eixo . - Para
: e . As curvas de nível são duas linhas verticais em e . - Para
: e . As curvas de nível são duas linhas verticais em e . - E assim por diante…
Passo 5
Agora, para esboçar o gráfico de
, vamos imaginar várias dessas curvas de nível empilhadas umas sobre as outras conforme
aumenta. Como
só depende de
, o gráfico será uma parabola estendida ao longo do eixo
. Em outras palavras, é uma superfície parabólica que se abre para cima, com a concavidade no eixo
.
Passo 6
Juntando tudo, o gráfico de
será uma superfície onde, para cada valor de
, as curvas de nível são duas linhas verticais paralelas ao eixo
. Essa superfície é chamada de paraboloide circular.
Resposta
O gráfico de
é uma paraboloide circular que se abre para cima, formada por curvas de nível que são duas linhas verticais paralelas ao eixo
para cada valor constante de
.