Nos itens abaixo, determine o domínio, descreva as curvas de nível e represente graficamente as superfícies
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o domínio da função
, descrever as curvas de nível e representar graficamente essa superfície. Vamos precisar entender um pouco sobre funções de duas variáveis, domínio, curvas de nível e como desenhar gráficos 3D.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis de
e
para os quais a função está definida.
A nossa função é
. Essa é uma função linear e não tem restrições como divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos. Portanto, o domínio é todo o plano
.
Dominio:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre as curvas de nível. As curvas de nível são as curvas onde a função
é constante. Ou seja, para um valor constante
, temos:
Vamos resolver essa equação para
:
Isso é a equação de uma reta com inclinação
e intercepto
. Conforme escolhemos diferentes valores de
, as retas se deslocam para cima ou para baixo no plano
.
Curvas de nível:
onde
é uma constante real.
Passo 4
Por fim, vamos representar graficamente a superfície
. Como é uma função linear, a superfície é um plano inclinado no espaço tridimensional.
Para desenhar o gráfico, podemos:
-
Encontrar interceptos:
- Quando
e , . - Quando
e , . - Quando
e , .
- Quando
-
Traçar essas interceptações no espaço tridimensional e conectar os pontos para visualizar o plano.
Gráfico da superfície:
[Imagine aqui um desenho de um plano inclinado que intercepta os eixos ,
e
nos pontos mencionados.]
[Imagine aqui um desenho de um plano inclinado que intercepta os eixos
Resposta
- Domínio:
(todos os pares reais). - Curvas de nível: Retas da forma
, onde é constante. - Representação gráfica: Um plano inclinado no espaço tridimensional que intercepta os eixos
, e nos pontos , e , respectivamente.