Nos itens abaixo, determine o domínio, descreva as curvas de nível e represente graficamente as superfícies
f(x, y) = 4 - x - y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o domínio da função , descrever as curvas de nível e representar graficamente essa superfície. Vamos precisar entender um pouco sobre funções de duas variáveis, domínio, curvas de nível e como desenhar gráficos 3D.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis de e para os quais a função está definida.
A nossa função é . Essa é uma função linear e não tem restrições como divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos. Portanto, o domínio é todo o plano .
Dominio:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre as curvas de nível. As curvas de nível são as curvas onde a função é constante. Ou seja, para um valor constante , temos:
Vamos resolver essa equação para :
Isso é a equação de uma reta com inclinação e intercepto . Conforme escolhemos diferentes valores de , as retas se deslocam para cima ou para baixo no plano .
Curvas de nível:
onde é uma constante real.

Passo 4

Por fim, vamos representar graficamente a superfície . Como é uma função linear, a superfície é um plano inclinado no espaço tridimensional.
Para desenhar o gráfico, podemos:
  1. Encontrar interceptos:
    • Quando e , .
    • Quando e , .
    • Quando e , .
  2. Traçar essas interceptações no espaço tridimensional e conectar os pontos para visualizar o plano.
Gráfico da superfície:
[Imagine aqui um desenho de um plano inclinado que intercepta os eixos , e nos pontos mencionados.]

Resposta

  • Domínio: (todos os pares reais).
  • Curvas de nível: Retas da forma , onde é constante.
  • Representação gráfica: Um plano inclinado no espaço tridimensional que intercepta os eixos , e nos pontos , e , respectivamente.

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