Nos itens abaixo, mostre que a função indicada não é analítica em nenhum lugar.
c) f(z)=barz^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função não é analítica em nenhum lugar. Isso envolve conceitos de funções de variável complexa e, mais especificamente, a definição de função analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender as condições para uma função ser analítica e aplicar essas condições à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser analítica. Uma função é dita analítica em um ponto se ela for diferenciável em um entorno desse ponto. Para funções de variável complexa, isso implica que as derivadas parciais de suas componentes reais e imaginárias devem satisfazer as equações de Cauchy-Riemann.

Passo 3

Vamos escrever a função f(z) = (x - iy)^2 = x^2 - 2ixy - y^2 de forma mais clara. Sejam f(z) = (x^2 - y^2) + (-2xy)i , onde e são números reais, então . Portanto,
Podemos separar isso em partes reais e imaginárias:
Aqui, a parte real é e a parte imaginária é .

Passo 4

Agora, vamos aplicar as equações de Cauchy-Riemann, que são:
partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x
Calculando as derivadas parciais:
partial upartial x = 2x e partial vpartial y = -2x
partial upartial y = -2y e partial vpartial x = -2y
Comparando, vemos que:
2x neq -2x a menos que x = 0
-2y = -2y (essa igualdade sempre va<=)
Para as equações de Cauchy-Riemann serem satisfeitas, ambas devem ser verdadeiras simultaneamente. No caso, a primeira igualdade só é verdadeira quando , mas isso não garante que a função será diferenciável em um entorno, apenas em pontos específicos, o que não é suficiente para ser considerada analítica.

Resposta

Portanto, a função não satisfaz as condições necessárias para ser analítica em nenhum ponto do plano complexo.

Exercícios relacionados

Determine os pontos nos quais a função indicada não será analítica.
c) f(z)=z^3+zz^2+4
Use as regras de derivação para determinar as derivadas das funções abaixo.
b) f(z)=(2 z+1)(z^2-4 z+8 i)
Há três diferentes formas de se determinar a intersecção entre dois planos. Exemplifique-as.
Mostre que as funções abaixo são analíticas em domínios apropriados.
d) f(z)=x-1(x-1)^2+y^2-i y(x-1)^2+y^2