Nos itens abaixo, mostre que a função indicada não é analítica em nenhum lugar.
c)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função
não é analítica em nenhum lugar. Isso envolve conceitos de funções de variável complexa e, mais especificamente, a definição de função analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender as condições para uma função ser analítica e aplicar essas condições à função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser analítica. Uma função
é dita analítica em um ponto se ela for diferenciável em um entorno desse ponto. Para funções de variável complexa, isso implica que as derivadas parciais de suas componentes reais e imaginárias devem satisfazer as equações de Cauchy-Riemann.
Passo 3
Vamos escrever a função
de forma mais clara. Sejam
, onde
e
são números reais, então
. Portanto,
Podemos separar isso em partes reais e imaginárias:
Aqui, a parte real é
e a parte imaginária é
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar as equações de Cauchy-Riemann, que são:
Calculando as derivadas parciais:
Comparando, vemos que:
Para as equações de Cauchy-Riemann serem satisfeitas, ambas devem ser verdadeiras simultaneamente. No caso, a primeira igualdade só é verdadeira quando
, mas isso não garante que a função será diferenciável em um entorno, apenas em pontos específicos, o que não é suficiente para ser considerada analítica.
Resposta
Portanto, a função
não satisfaz as condições necessárias para ser analítica em nenhum ponto do plano complexo.
Exercícios relacionados
Determine os pontos nos quais a função indicada não será analítica.
c)
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Use as regras de derivação para determinar as derivadas das funções abaixo.
b)
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Há três diferentes formas de se determinar a intersecção entre dois planos. Exemplifique-as.
Mostre que as funções abaixo são analíticas em domínios apropriados.
d)
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