Use as regras de derivação para determinar as derivadas das funções abaixo.
b) f(z)=(2 z+1)(z^2-4 z+8 i)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para determinar a derivada de uma função usando as regras de derivação. A função que vamos trabalhar é . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto, que é usada quando temos duas funções multiplicando uma à outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da nossa função que estão sendo multiplicadas. Vamos chamar:

Passo 3

A regra do produto diz que a derivada de f'(z) = u'(z) cdot v(z) + u(z) cdot v'(z) é:
Então, precisamos encontrar as derivadas de e .

Passo 4

Vamos derivar u(z) = 2z + 1 :
u'(z) = 2
A derivada de é 2 e a derivada de 1 é 0, então:

Passo 5

Agora, vamos derivar v(z) = z^2 - 4z + 8i :
v'(z) = 2z - 4
A derivada de é , a derivada de é -4, e a derivada de (que é uma constante) é 0. Então:

Passo 6

Agora que temos f'(z) = u'(z) cdot v(z) + u(z) cdot v'(z) e f'(z) = 2 cdot (z^2 - 4z + 8i) + (2z + 1) cdot (2z - 4) , vamos aplicar a regra do produto:
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar cada parte separadamente:
Primeira parte:
2 cdot (z^2 - 4z + 8i) = 2z^2 - 8z + 16i
Segunda parte:
(2z + 1) cdot (2z - 4)
Vamos multiplicar termo a termo:
2z cdot 2z = 4z^2
2z cdot (-4) = -8z
1 cdot 2z = 2z
1 cdot (-4) = -4
Somando tudo:
4z^2 - 8z + 2z - 4 = 4z^2 - 6z - 4

Passo 8

Agora, somamos as duas partes:
f'(z) = (2z^2 - 8z + 16i) + (4z^2 - 6z - 4)
Somando os termos semelhantes:
f'(z) = 6z^2 - 14z + (16i - 4)
Podemos deixar assim ou separar a parte imaginária:
f'(z) = 6z^2 - 14z - 4 + 16i

Resposta

A derivada da função é:
f'(z) = 6z^2 - 14z - 4 + 16i

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