Mostre que as funções abaixo são analíticas em domínios apropriados.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a função:
Aqui,
é um número complexo, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Nosso objetivo é mostrar que essa função é analítica em certos domínios. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser analítica e usar as Equações de Cauchy-Riemann.
Passo 2
Uma função
é analítica em um domínio se ela satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann nesse domínio e se as funções
e
têm derivadas parciais contínuas. As Equações de Cauchy-Riemann são:
Vamos identificar
e
na função dada e verificar essas condições.
Passo 3
Identificando as partes real e imaginária da função
:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Agora, vamos verificar se as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas.
Primeira equação:
Vemos que:
Portanto, a primeira equação de Cauchy-Riemann é satisfeita.
Segunda equação:
Portanto:
A segunda equação de Cauchy-Riemann também é satisfeita.
Passo 5
Como ambas as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas e as funções
e
têm derivadas parciais contínuas no domínio considerado (exceto no ponto onde o denominador se anula, ou seja,
, que corresponde a
), concluímos que a função
é analítica em todos os pontos do plano complexo exceto em
.
Resposta
A função
é analítica em todos os números complexos
diferentes de
.