Mostre que as funções abaixo são analíticas em domínios apropriados.
d) f(z)=x-1(x-1)^2+y^2-i y(x-1)^2+y^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a função:
f(z) = x - 1(x - 1)^2 + y^2 - i y(x - 1)^2 + y^2
Aqui, é um número complexo, onde é a parte real e é a parte imaginária. Nosso objetivo é mostrar que essa função é analítica em certos domínios. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser analítica e usar as Equações de Cauchy-Riemann.

Passo 2

Uma função partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x é analítica em um domínio se ela satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann nesse domínio e se as funções e têm derivadas parciais contínuas. As Equações de Cauchy-Riemann são:
Vamos identificar e na função dada e verificar essas condições.

Passo 3

Identificando as partes real e imaginária da função u(x, y) = x - 1(x - 1)^2 + y^2 :
v(x, y) = -y(x - 1)^2 + y^2
partial upartial x = [(1) cdot ((x - 1)^2 + y^2) - (x - 1) cdot 2(x - 1)]((x - 1)^2 + y^2)^2 = (x - 1)^2 + y^2 - 2(x - 1)^2((x - 1)^2 + y^2)^2 = - (x - 1)^2 + y^2 ((x - 1)^2 + y^2)^2
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Calculando partial vpartial y = [-1 cdot ((x - 1)^2 + y^2) - (-y) cdot 2y]((x - 1)^2 + y^2)^2 = - (x - 1)^2 - y^2 + 2y^2 ((x - 1)^2 + y^2)^2 = - (x - 1)^2 + y^2 ((x - 1)^2 + y^2)^2 :
partial upartial y = 0 cdot ((x - 1)^2 + y^2) - (x - 1) cdot 2y((x - 1)^2 + y^2)^2 = - 2y(x - 1) ((x - 1)^2 + y^2)^2
Calculando partial vpartial x = 0 cdot ((x - 1)^2 + y^2) - (-y) cdot 2(x - 1)((x - 1)^2 + y^2)^2 = 2y(x - 1) ((x - 1)^2 + y^2)^2 :
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos verificar se as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas.
Primeira equação:
partial upartial x = - (x - 1)^2 + y^2 ((x - 1)^2 + y^2)^2 = partial vpartial y
Vemos que:
partial vpartial y = - (x - 1)^2 + y^2 ((x - 1)^2 + y^2)^2
Portanto, a primeira equação de Cauchy-Riemann é satisfeita.
Segunda equação:
partial upartial y = - 2y(x - 1) ((x - 1)^2 + y^2)^2 e -partial vpartial x = - 2y(x - 1) ((x - 1)^2 + y^2)^2 = - 2y(x - 1) ((x - 1)^2 + y^2)^2
Portanto:
partial upartial y = -partial vpartial x
A segunda equação de Cauchy-Riemann também é satisfeita.

Passo 5

Como ambas as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas e as funções e têm derivadas parciais contínuas no domínio considerado (exceto no ponto onde o denominador se anula, ou seja, , que corresponde a ), concluímos que a função é analítica em todos os pontos do plano complexo exceto em .

Resposta

A função é analítica em todos os números complexos diferentes de .

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