Demonstrar as seguintes identidades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que essa identidade trigonométrica é verdadeira:
Para isso, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas básicas, como expressões de cotangente e cosecante em função de seno e cosseno, além de saber como expandir expressões quadráticas. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que:
Vamos substituir essas definições na expressão original para facilitar nossa vida.
Passo 3
Substituindo na expressão original:
Agora, vamos simplificar cada parte separadamente.
Passo 4
Vamos simplificar o primeiro termo:
Então, o primeiro quadrado fica:
Passo 5
Agora, olhamos para o segundo termo da esquerda:
Já está simplificado, mas vamos anotar que ele aparece também no numerador do primeiro termo.
Passo 6
Vamos juntar os dois termos da esquerda:
Podemos fatorar
:
Passo 7
Agora, vamos simplificar dentro do parênteses:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Substituindo de volta:
Agora, lembrando que
, temos:
Passo 9
Vamos ver agora o lado direito da igualdade:
Note que
, então:
Resposta
Assim, chegamos que:
Portanto, a identidade está comprovada!
Exercícios relacionados
Demonstrar as seguintes identidades:
Nos itens abaixo, teste o teorema de Gauss
onde a fronteira
da região
está orientada pelo vetor normal exterior.
(a) , e
;
(a)
Demonstrar as seguintes identidades:
Nos itens abaixo, teste o teorema de Gauss
onde a fronteira
da região
está orientada pelo vetor normal exterior.
© , e
;
©