Demonstrar as seguintes identidades:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que essa identidade trigonométrica é verdadeira:
Para isso, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas básicas, como expressões de cotangente e cosecante em função de seno e cosseno, além de saber como expandir expressões quadráticas. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que:
Vamos substituir essas definições na expressão original para facilitar nossa vida.

Passo 3

Substituindo na expressão original:
Agora, vamos simplificar cada parte separadamente.

Passo 4

Vamos simplificar o primeiro termo:
Então, o primeiro quadrado fica:

Passo 5

Agora, olhamos para o segundo termo da esquerda:
Já está simplificado, mas vamos anotar que ele aparece também no numerador do primeiro termo.

Passo 6

Vamos juntar os dois termos da esquerda:
Podemos fatorar :

Passo 7

Agora, vamos simplificar dentro do parênteses:
Sabemos que , então:

Passo 8

Substituindo de volta:
Agora, lembrando que , temos:

Passo 9

Vamos ver agora o lado direito da igualdade:
Note que , então:

Resposta

Assim, chegamos que:
Portanto, a identidade está comprovada!

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Demonstrar as seguintes identidades:
Nos itens abaixo, teste o teorema de Gauss
onde a fronteira da região está orientada pelo vetor normal exterior.
(a) , e ;
Demonstrar as seguintes identidades:
Nos itens abaixo, teste o teorema de Gauss
onde a fronteira da região está orientada pelo vetor normal exterior.
© , e ;