Nos itens abaixo, teste o teorema de Gauss
integralpartial Omega F cdot d S=integral triplaOmega div F d x d y d z=integral triplaOmega nabla cdot F d x d y d z,
onde a fronteira partial B da região Omega subset R^3 está orientada pelo vetor normal exterior.
(d) F(x, y, z)=(x, 0, y), e Omega é o cubo [0,1] times[0,1] times[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que testar o Teorema de Gauss pra um campo vetorial específico dentro de um cubo . O Teorema de Gauss, também chamado de teorema da divergência, relaciona a integral de superfície de na fronteira do cubo com a integral tripla da divergência de dentro do cubo. Vamos precisar calcular essas duas integrais e ver se elas são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . A divergência de um campo vetorial nabla cdot F = partial xpartial x + partial 0partial y + partial ypartial z = 1 + 0 + 0 = 1 é dada por:
No nosso caso, , então:
Então, a divergência de é 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral tripla da divergência de integral triplaOmega nabla cdot F , dx , dy , dz = integral triplaOmega 1 , dx , dy , dz sobre o cubo 1 times 1 times 1 = 1 :
Como o integrando é 1, essa integral é simplesmente o volume do cubo. Como o cubo vai de 0 a 1 em cada direção, o volume é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de superfície de n = (1, 0, 0) na fronteira do cubo integral0^1 integral0^1 1 , dy , dz = 1 . Isso significa que precisamos integrar n = (-1, 0, 0) em cada uma das seis faces do cubo, onde integral0^1 integral0^1 0 , dy , dz = 0 é o vetor normal externo à superfície.
Vamos considerar cada face:
  1. Face n = (0, 1, 0) :
    integral0^1 integral0^1 0 , dx , dz = 0
    n = (0, -1, 0)
    Integral sobre esta face:
    integral0^1 integral0^1 0 , dx , dz = 0
  2. Face n = (0, 0, 1) :
    integral0^1 integral0^1 y , dx , dy = integral0^1 y cdot 1 , dy = 12
    n = (0, 0, -1)
    Integral sobre esta face:
    integral0^1 integral0^1 (-y) , dx , dy = -integral0^1 y cdot 1 , dy = -12
  3. Face 1 + 0 + 0 + 0 + 12 - 12 = 1 :

    Integral sobre esta face:
  4. Face :

    Integral sobre esta face:
  5. Face :

    Integral sobre esta face:
  6. Face :

    Integral sobre esta face:
Somando todas as integrais das faces:

Resposta

A integral de superfície de é igual a 1, confirmando o Teorema de Gauss para este caso.

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