Nos itens abaixo, teste o teorema de Gauss
onde a fronteira da região está orientada pelo vetor normal exterior.
(d) , e é o cubo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que testar o Teorema de Gauss pra um campo vetorial específico dentro de um cubo . O Teorema de Gauss, também chamado de teorema da divergência, relaciona a integral de superfície de na fronteira do cubo com a integral tripla da divergência de dentro do cubo. Vamos precisar calcular essas duas integrais e ver se elas são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, , então:
Então, a divergência de é 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral tripla da divergência de sobre o cubo :
Como o integrando é 1, essa integral é simplesmente o volume do cubo. Como o cubo vai de 0 a 1 em cada direção, o volume é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de superfície de na fronteira do cubo . Isso significa que precisamos integrar em cada uma das seis faces do cubo, onde é o vetor normal externo à superfície.
Vamos considerar cada face:
  1. Face :

    Integral sobre esta face:
  2. Face :

    Integral sobre esta face:
  3. Face :

    Integral sobre esta face:
  4. Face :

    Integral sobre esta face:
  5. Face :

    Integral sobre esta face:
  6. Face :

    Integral sobre esta face:
Somando todas as integrais das faces:

Resposta

A integral de superfície de é igual a 1, confirmando o Teorema de Gauss para este caso.

Exercícios relacionados

Provar que
, para todo .
Nos itens abaixo, teste o teorema de Gauss
onde a fronteira da região está orientada pelo vetor normal exterior.
© , e ;
Demonstrar as seguintes identidades:
Demonstrar as seguintes identidades: