Nos itens abaixo, teste o teorema de Gauss
onde a fronteira
da região
está orientada pelo vetor normal exterior.
(d)
, e
é o cubo
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que testar o Teorema de Gauss pra um campo vetorial específico
dentro de um cubo
. O Teorema de Gauss, também chamado de teorema da divergência, relaciona a integral de superfície de
na fronteira do cubo com a integral tripla da divergência de
dentro do cubo. Vamos precisar calcular essas duas integrais e ver se elas são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Então, a divergência de
é 1.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral tripla da divergência de
sobre o cubo
:
Como o integrando é 1, essa integral é simplesmente o volume do cubo. Como o cubo vai de 0 a 1 em cada direção, o volume é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de superfície de
na fronteira do cubo
. Isso significa que precisamos integrar
em cada uma das seis faces do cubo, onde
é o vetor normal externo à superfície.
Vamos considerar cada face:
-
Face
:
Integral sobre esta face: -
Face
:
Integral sobre esta face: -
Face
:
Integral sobre esta face: -
Face
:
Integral sobre esta face: -
Face
:
Integral sobre esta face: -
Face
:
Integral sobre esta face:
Somando todas as integrais das faces:
Resposta
A integral de superfície de
é igual a 1, confirmando o Teorema de Gauss para este caso.
Exercícios relacionados
Provar que
, para todo
.
Nos itens abaixo, teste o teorema de Gauss
onde a fronteira
da região
está orientada pelo vetor normal exterior.
© , e
;
©
Demonstrar as seguintes identidades:
Demonstrar as seguintes identidades: