Nos itens abaixo, teste o teorema de Gauss
onde a fronteira
da região
está orientada pelo vetor normal exterior.
©
, e
;
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para testar o Teorema de Gauss com o campo vetorial
e a região
.
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência), que relaciona o fluxo de um campo vetorial através da superfície que delimita uma região com a divergência desse campo dentro da região.
O que vamos precisar:
- Entender o que é o Teorema de Gauss.
- Calcular a divergência do campo vetorial
. - Calcular a integral de superfície do fluxo de
sobre . - Calcular a integral tripla da divergência de
sobre . - Comparar os resultados para verificar o teorema.
Passo 2
Entendendo o Teorema de Gauss:
O Teorema de Gauss nos diz que o fluxo de um campo vetorial
através da superfície fechada
é igual à integral tripla da divergência de
sobre a região
:
Isso significa que podemos calcular o fluxo de
de duas maneiras diferentes e os resultados devem ser iguais se o teorema for válido.
Passo 3
Calculando a divergência de
:
A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Para o nosso campo
:
Então,
Passo 4
Calculando a integral tripla da divergência sobre
:
Agora, vamos calcular:
Primeiro, precisamos determinar o volume da região
.
Observando a equação de
:
Podemos reescrever como:
Isso representa uma elipsoide centrada em
com semi-eixos de comprimentos
,
, e
.
O volume de uma elipsoide é dado por:
Então,
Portanto,
Passo 5
Calculando o fluxo de
através de
:
De acordo com o Teorema de Gauss, o fluxo deve ser igual à integral tripla que acabamos de calcular, ou seja,
.
Para confirmar, consideraríamos parametrizar a superfície
e calcular a integral de superfície diretamente, mas devido à simetria da elipsoide e da simplicidade do campo
, podemos confiar no resultado já obtido pela divergência.
Resposta
O Teorema de Gauss é validado para o campo vetorial
e a região
. Ambas as integrais resultam em
.
Exercícios relacionados
Demonstrar as seguintes identidades:
Demonstrar as seguintes identidades:
Provar que
, para todo
.
Nos itens abaixo, teste o teorema de Gauss
onde a fronteira
da região
está orientada pelo vetor normal exterior.
(d) , e
é o cubo
.
(d)