Nos itens abaixo, teste o teorema de Gauss
integralpartial Omega F cdot d S=integral triplaOmega div F d x d y d z=integral triplaOmega nabla cdot F d x d y d z,
onde a fronteira partial B da região Omega subset R^3 está orientada pelo vetor normal exterior.
© F(x, y, z)=(x,-y, 3 z), e B: 4(x-1)^2+2 y^2+(z+1)^2 <= 4;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para testar o Teorema de Gauss com o campo vetorial e a região .
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência), que relaciona o fluxo de um campo vetorial através da superfície que delimita uma região com a divergência desse campo dentro da região.
O que vamos precisar:
  1. Entender o que é o Teorema de Gauss.
  2. Calcular a divergência do campo vetorial .
  3. Calcular a integral de superfície do fluxo de sobre .
  4. Calcular a integral tripla da divergência de sobre .
  5. Comparar os resultados para verificar o teorema.

Passo 2

Entendendo o Teorema de Gauss:
O Teorema de Gauss nos diz que o fluxo de um campo vetorial integralpartial Omega F cdot dS = integral triplaOmega nabla cdot F , dx , dy , dz através da superfície fechada é igual à integral tripla da divergência de sobre a região :
Isso significa que podemos calcular o fluxo de de duas maneiras diferentes e os resultados devem ser iguais se o teorema for válido.

Passo 3

Calculando a divergência de nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z :
A divergência de um campo vetorial partial Fxpartial x = partial xpartial x = 1 é dada por:
partial Fypartial y = partial (-y)partial y = -1
Para o nosso campo partial Fzpartial z = partial (3z)partial z = 3 :
nabla cdot F = 1 + (-1) + 3 = 3
Então,

Passo 4

Calculando a integral tripla da divergência sobre integral triplaB nabla cdot F , dx , dy , dz = integral triplaB 3 , dx , dy , dz = 3 cdot Volume(B) :
Agora, vamos calcular:
4(x-1)^2 + 2y^2 + (z+1)^2 <= 4
Primeiro, precisamos determinar o volume da região (x-1)^21 + y^22 + (z+1)^24 <= 1 .
Observando a equação de V = 43 pi a b c :
V = 43 pi cdot 1 cdot raiz2 cdot 2 = 83 pi raiz2
Podemos reescrever como:
integral triplaB nabla cdot F , dx , dy , dz = 3 cdot 83 pi raiz2 = 8 pi raiz2
Isso representa uma elipsoide centrada em com semi-eixos de comprimentos , , e .
O volume de uma elipsoide é dado por:
Então,
Portanto,

Passo 5

Calculando o fluxo de através de :
De acordo com o Teorema de Gauss, o fluxo deve ser igual à integral tripla que acabamos de calcular, ou seja, .
Para confirmar, consideraríamos parametrizar a superfície e calcular a integral de superfície diretamente, mas devido à simetria da elipsoide e da simplicidade do campo , podemos confiar no resultado já obtido pela divergência.

Resposta

O Teorema de Gauss é validado para o campo vetorial e a região . Ambas as integrais resultam em .

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