Nos itens abaixo, teste o teorema de Gauss
onde a fronteira da região está orientada pelo vetor normal exterior.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para testar o Teorema de Gauss com o campo vetorial e a região .
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência), que relaciona o fluxo de um campo vetorial através da superfície que delimita uma região com a divergência desse campo dentro da região.
O que vamos precisar:
  1. Entender o que é o Teorema de Gauss.
  2. Calcular a divergência do campo vetorial .
  3. Calcular a integral de superfície do fluxo de sobre .
  4. Calcular a integral tripla da divergência de sobre .
  5. Comparar os resultados para verificar o teorema.

Passo 2

Entendendo o Teorema de Gauss:
O Teorema de Gauss nos diz que o fluxo de um campo vetorial através da superfície fechada é igual à integral tripla da divergência de sobre a região :
Isso significa que podemos calcular o fluxo de de duas maneiras diferentes e os resultados devem ser iguais se o teorema for válido.

Passo 3

Calculando a divergência de :
A divergência de um campo vetorial é dada por:
Para o nosso campo :
Então,

Passo 4

Calculando a integral tripla da divergência sobre :
Agora, vamos calcular:
Primeiro, precisamos determinar o volume da região .
Observando a equação de :
Podemos reescrever como:
Isso representa uma elipsoide centrada em com semi-eixos de comprimentos , , e .
O volume de uma elipsoide é dado por:
Então,
Portanto,

Passo 5

Calculando o fluxo de através de :
De acordo com o Teorema de Gauss, o fluxo deve ser igual à integral tripla que acabamos de calcular, ou seja, .
Para confirmar, consideraríamos parametrizar a superfície e calcular a integral de superfície diretamente, mas devido à simetria da elipsoide e da simplicidade do campo , podemos confiar no resultado já obtido pela divergência.

Resposta

O Teorema de Gauss é validado para o campo vetorial e a região . Ambas as integrais resultam em .

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Demonstrar as seguintes identidades:
Demonstrar as seguintes identidades:
Provar que
, para todo .
Nos itens abaixo, teste o teorema de Gauss
onde a fronteira da região está orientada pelo vetor normal exterior.
(d) , e é o cubo .