Provar que
(1 - cos(x)) / (sen(x) cos(x)) + sen(x) = (1 - cos(x)) / tg(x), para todo x pertence a R, x diferente de k pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que provar que a expressão
é igual a
para todo , onde . Vamos usar identidades trigonométricas básicas para fazer essa prova.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é igual a . Então, podemos reescrever o denominador da fração à direita da igualdade:

Passo 3

Agora, voltando à expressão original do lado esquerdo:
Vamos encontrar um denominador comum para somar as frações. O denominador comum aqui é . Reescrevendo a expressão:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o numerador. Sabemos que (identidade fundamental da trigonometria). Substituindo isso:

Passo 5

Portanto, a expressão fica:
Agora, observe que pode ser fatorado como . Porém, isso não simplifica diretamente para nossa meta. Em vez disso, vamos comparar com a expressão que obtivemos no Passo 2:

Passo 6

Observando, vemos que as duas expressões se igualam, já que:
Portanto, provamos que:

Resposta

Concluímos que
para todo , onde .

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