Provar que
, para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que provar que a expressão
é igual a
para todo
, onde
. Vamos usar identidades trigonométricas básicas para fazer essa prova.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que é igual a . Então, podemos reescrever o denominador da fração à direita da igualdade:
Passo 3
Agora, voltando à expressão original do lado esquerdo:
Vamos encontrar um denominador comum para somar as frações. O denominador comum aqui é . Reescrevendo a expressão:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o numerador. Sabemos que (identidade fundamental da trigonometria). Substituindo isso:
Passo 5
Portanto, a expressão fica:
Agora, observe que
pode ser fatorado como
. Porém, isso não simplifica diretamente para nossa meta. Em vez disso, vamos comparar com a expressão que obtivemos no Passo 2:
Passo 6
Observando, vemos que as duas expressões se igualam, já que:
Portanto, provamos que:
Resposta
Concluímos que
para todo
, onde
.
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Nos itens abaixo, teste o teorema de Gauss
onde a fronteira
da região
está orientada pelo vetor normal exterior.
© , e
;
©
Demonstrar as seguintes identidades:
Nos itens abaixo, teste o teorema de Gauss
onde a fronteira
da região
está orientada pelo vetor normal exterior.
(d) , e
é o cubo
.
(d)
Demonstrar as seguintes identidades: