Nos itens abaixo, você deve:
- Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
- Esboçar as curvas no plano cartesiano;
- Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro
aumenta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema de equações paramétricas:
O que a gente precisa fazer é:
- Eliminar o parâmetro
para obter uma equação no plano cartesiano. - Desenhar o esboço da curva que essas equações representam.
- Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando
aumenta.
Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos eliminar o parâmetro
. A ideia é expressar
em termos de
sem precisar de
.
Sabemos que
. Podemos isolar
:
Agora, olhe para a equação de
:
Lembrando da identidade trigonométrica básica:
Como já temos
, podemos elevar ao quadrado ambos os lados:
Substituindo na identidade:
Mas sabemos que
, então substituímos novamente:
Agora, temos uma equação sem o parâmetro
:
Passo 3
Vamos reorganizar essa equação para reconhecer a forma da curva:
Essa é a equação de uma parábola que abre para a esquerda, já que
está isolado e o termo quadrático está em
.
Passo 4
Agora, para esboçar a curva no plano cartesiano, vamos identificar o vértice da parábola. A forma geral da parábola é:
Comparando com a nossa equação
, vemos que:
-
(indica que a parábola abre para a esquerda), -
, -
.
Então, o vértice está no ponto
.
Passo 5
Para desenhar a parábola, vamos traçar alguns pontos:
- Quando
, (vértice). - Quando
, . - Quando
, . - Quando
, . - Quando
, .
Com esses pontos, a gente desenha a parábola que abre para a esquerda, passando pelos pontos
,
,
,
, e
.
Passo 6
Por último, vamos indicar a direção da curva quando
aumenta de
a
.
Veja que:
- Quando
, , . - Conforme
aumenta, aumenta até , então vai até 4. - Depois,
diminui até , indo para 3 novamente. - Continua diminuindo até
, chegando a 2. - E finalmente sobe de volta para 3 quando
completa .
Isso significa que a seta na parábola deve começar no vértice
, indo para cima até
, descendo para
, e voltando para o vértice. A direção é no sentido anti-horário.
Resposta
A equação cartesiana da curva é
. O esboço é uma parábola que abre para a esquerda com vértice em
. A seta indica que, conforme
aumenta de
a
, a curva é traçada no sentido anti-horário.
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Nos itens abaixo, você deve:
- Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
- Esboçar as curvas no plano cartesiano;
- Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro
aumenta.
Reescreva cada teorema abaixo na sua forma condicional
Esboce os sinais descritos abaixo e determine se são periódicos. Se forem periódicos, determine o seu período fundamental.
.
Esboce os sinais descritos abaixo e determine se são de energia ou de potência:
. (Obs.: |.| denota a função modular).