Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema de equações paramétricas:
O que a gente precisa fazer é:
  1. Eliminar o parâmetro para obter uma equação no plano cartesiano.
  2. Desenhar o esboço da curva que essas equações representam.
  3. Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando aumenta.
Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos eliminar o parâmetro . A ideia é expressar em termos de sem precisar de .
Sabemos que . Podemos isolar :
Agora, olhe para a equação de :
Lembrando da identidade trigonométrica básica:
Como já temos , podemos elevar ao quadrado ambos os lados:
Substituindo na identidade:
Mas sabemos que , então substituímos novamente:
Agora, temos uma equação sem o parâmetro :

Passo 3

Vamos reorganizar essa equação para reconhecer a forma da curva:
Essa é a equação de uma parábola que abre para a esquerda, já que está isolado e o termo quadrático está em .

Passo 4

Agora, para esboçar a curva no plano cartesiano, vamos identificar o vértice da parábola. A forma geral da parábola é:
Comparando com a nossa equação , vemos que:
  • (indica que a parábola abre para a esquerda),
  • ,
  • .
Então, o vértice está no ponto .

Passo 5

Para desenhar a parábola, vamos traçar alguns pontos:
  • Quando , (vértice).
  • Quando , .
  • Quando , .
  • Quando , .
  • Quando , .
Com esses pontos, a gente desenha a parábola que abre para a esquerda, passando pelos pontos , , , , e .

Passo 6

Por último, vamos indicar a direção da curva quando aumenta de a .
Veja que:
  • Quando , , .
  • Conforme aumenta, aumenta até , então vai até 4.
  • Depois, diminui até , indo para 3 novamente.
  • Continua diminuindo até , chegando a 2.
  • E finalmente sobe de volta para 3 quando completa .
Isso significa que a seta na parábola deve começar no vértice , indo para cima até , descendo para , e voltando para o vértice. A direção é no sentido anti-horário.

Resposta

A equação cartesiana da curva é . O esboço é uma parábola que abre para a esquerda com vértice em . A seta indica que, conforme aumenta de a , a curva é traçada no sentido anti-horário.

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Reescreva cada teorema abaixo na sua forma condicional
Esboce os sinais descritos abaixo e determine se são periódicos. Se forem periódicos, determine o seu período fundamental.
.
Esboce os sinais descritos abaixo e determine se são de energia ou de potência:
. (Obs.: |.| denota a função modular).