Suponha que uma partícula se move ao longo da parábola y = x^2, do ponto (-1, 1) ao ponto 2,4). Ache o trabalho total realizado, se o movimento for causado pelo campo de forças F(x, y) = (x^2 + y^2) i + 3 x^2 y j. Suponha que os arcos sejam medidos em metros e a força em Newtons.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para calcular o trabalho total realizado por um campo de forças enquanto uma partícula se move ao longo da parábola , indo do ponto até o ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha, que nos ajuda a calcular o trabalho feito por um campo de forças ao longo de um caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho no contexto de um campo de forças. O trabalho é calculado pela integral de linha do campo de forças ao longo do caminho que a partícula percorre:
Aqui, é o campo de forças dado por , e é o diferencial do vetor posição ao longo da curva.

Passo 3

Para calcular essa integral, precisamos parametrizar o caminho . Como a partícula se move ao longo da parábola , podemos usar como parâmetro. Vamos definir:
Então, o vetor posição fica:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o diferencial , que é a derivada de em relação a :

Passo 5

Em seguida, substituímos e em pela parametrização que fizemos:

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 7

Finalmente, montamos a integral para calcular o trabalho:
Vamos integrar termo a termo:
Então,

Passo 8

Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Calculando cada termo:
Somando:
Para :
Calculando cada termo:
Somando:

Passo 9

Agora, subtraímos os valores:

Resposta

O trabalho total realizado pelo campo de forças ao longo do caminho dado é aproximadamente Joules.

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