Suponha que uma partícula se move ao longo da parábola
, do ponto
ao ponto 2,4). Ache o trabalho total realizado, se o movimento for causado pelo campo de forças
. Suponha que os arcos sejam medidos em metros e a força em Newtons.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para calcular o trabalho total realizado por um campo de forças enquanto uma partícula se move ao longo da parábola
, indo do ponto
até o ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha, que nos ajuda a calcular o trabalho feito por um campo de forças ao longo de um caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho no contexto de um campo de forças. O trabalho
é calculado pela integral de linha do campo de forças
ao longo do caminho
que a partícula percorre:
Aqui,
é o campo de forças dado por
, e
é o diferencial do vetor posição ao longo da curva.
Passo 3
Para calcular essa integral, precisamos parametrizar o caminho
. Como a partícula se move ao longo da parábola
, podemos usar
como parâmetro. Vamos definir:
Então, o vetor posição
fica:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o diferencial
, que é a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Em seguida, substituímos
e
em
pela parametrização que fizemos:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Finalmente, montamos a integral para calcular o trabalho:
Vamos integrar termo a termo:
Então,
Passo 8
Agora, substituímos os limites de integração:
Para
:
Calculando cada termo:
Somando:
Para
:
Calculando cada termo:
Somando:
Passo 9
Agora, subtraímos os valores:
Resposta
O trabalho total realizado pelo campo de forças ao longo do caminho dado é aproximadamente
Joules.
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COM BASE NOS DADOS CLÍNICOS E LABORATORIAIS, PROPOMOS AS SEGUINTES QUESTÕES PARA DISCUSSÃO DO CASO
3) Quais os cuidados necessários na coleta de amostras de urina de crianças usando o saco coletor para evitar contaminação?
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Nos itens 1 a 3, ache o valor da integral
(
e
serão especificados).
e
é um caminho situado no
quadrante que vai de -1 a
. Especifique o ramo do logaritmo tomando
.
Calcule os limites abaixo com o auxílio da Regra de L(h)