Nos itens (a)-(g) é apresentado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar pelo menos um axioma que não se verifica.
(a)
e
.
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
, que consiste em polinômios de grau até 2 com coeficientes reais. As operações definidas são a adição de polinômios e a multiplicação por um escalar. Nosso objetivo é verificar se esse conjunto, com essas operações, forma um espaço vetorial. Para isso, precisamos lembrar dos axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se todos são satisfeitos.
Passo 2
Vamos começar verificando o primeiro axioma: Fechamento sob adição. Isso significa que a soma de dois polinômios em
deve também ser um polinômio em
.
Se tomarmos dois polinômios qualquer de
:
A soma deles é:
Como
são reais, a soma também será um polinômio de grau até 2 com coeficientes reais. Então, o fechamento sob adição está garantido.
Passo 3
Agora, vamos verificar o segundo axioma: Fechamento sob multiplicação por escalar. Isso significa que, ao multiplicar um polinômio de
por um número real, o resultado também deve estar em
.
Tomando um polinômio qualquer de
:
Multiplicando por um escalar
:
Novamente, como
são reais, o resultado também é um polinômio de grau até 2 com coeficientes reais. Portanto, o fechamento sob multiplicação por escalar está satisfeito.
Passo 4
Em seguida, precisamos verificar os demais axiomas que definem um espaço vetorial, como a existência do vetor nulo, a existência de inversos aditivos, associatividade e comutatividade da adição, entre outros. No caso de
com as operações definidas, todos esses axiomas são satisfeitos naturalmente, já que estamos trabalhando com polinômios e operações que são bem conhecidas no contexto de espaços vetoriais.
Resposta
O conjunto
com as operações de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
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Resolva os seguintes sistemas, usando a matriz inversa. (
, verifique se a matriz inversa existe.)
Seja
uma transformação linear. Mostre que: Supondo que
é injetora
é sobrejetora.
Calcule o valor de a e b para que a função
seja contínua em todos os números do seu domínio.
Determine os valores de
com os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.