Nos itens (a)-(g) é apresentado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar pelo menos um axioma que não se verifica.
(a) P2=a2 x^2+a1 x+a0 mid ai in R, (a2 x^2+a1 x+a0)+(b2 x^2+b1 x+b0)=(a2+b2) x^2+(a1+b1) x+ (a0+b0) e k(a2 x^2+a1 x+a0)=k a2 x^2+k a1 x+k a0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto , que consiste em polinômios de grau até 2 com coeficientes reais. As operações definidas são a adição de polinômios e a multiplicação por um escalar. Nosso objetivo é verificar se esse conjunto, com essas operações, forma um espaço vetorial. Para isso, precisamos lembrar dos axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se todos são satisfeitos.

Passo 2

Vamos começar verificando o primeiro axioma: Fechamento sob adição. Isso significa que a soma de dois polinômios em p(x) = a2x^2 + a1x + a0 deve também ser um polinômio em q(x) = b2x^2 + b1x + b0 .
Se tomarmos dois polinômios qualquer de p(x) + q(x) = (a2 + b2)x^2 + (a1 + b1)x + (a0 + b0) :
A soma deles é:
Como são reais, a soma também será um polinômio de grau até 2 com coeficientes reais. Então, o fechamento sob adição está garantido.

Passo 3

Agora, vamos verificar o segundo axioma: Fechamento sob multiplicação por escalar. Isso significa que, ao multiplicar um polinômio de p(x) = a2x^2 + a1x + a0 por um número real, o resultado também deve estar em k cdot p(x) = k a2x^2 + k a1x + k a0 .
Tomando um polinômio qualquer de :
Multiplicando por um escalar :
Novamente, como são reais, o resultado também é um polinômio de grau até 2 com coeficientes reais. Portanto, o fechamento sob multiplicação por escalar está satisfeito.

Passo 4

Em seguida, precisamos verificar os demais axiomas que definem um espaço vetorial, como a existência do vetor nulo, a existência de inversos aditivos, associatividade e comutatividade da adição, entre outros. No caso de com as operações definidas, todos esses axiomas são satisfeitos naturalmente, já que estamos trabalhando com polinômios e operações que são bem conhecidas no contexto de espaços vetoriais.

Resposta

O conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial.

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