Seja T: V W uma transformação linear. Mostre que: Supondo que dim V=dim W, T é injetora Leftrightarrow T é sobrejetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear onde os espaços vetoriais e têm a mesma dimensão, ou seja, . Nosso objetivo é mostrar que, sob essa condição, ser injetora é a mesma coisa que ser sobrejetora. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que significam essas propriedades e como elas se relacionam quando as dimensões dos espaços são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é injetora se diferentes vetores em são mapeados para diferentes vetores em . Formalmente, é injetora se implica que .
Por outro lado, é sobrejetora se todo vetor em é imagem de pelo menos um vetor em . Ou seja, para todo , existe pelo menos um tal que .

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema da Dimensão (também conhecido como Teorema da Base ou Teorema do Núcleo e Imagem). Esse teorema diz que:
dim V = dim ker T + dim Im T
Onde é o núcleo de (conjunto dos vetores que são mapeados para o vetor zero em ) e é a imagem de (conjunto de todos os vetores em que são imagens de vetores em ).

Passo 4

Como dim W = dim ker T + dim Im T , podemos substituir na equação do teorema:
Queremos mostrar que é injetora se e somente se é sobrejetora.

Passo 5

Primeiro, suponha que dim W = 0 + dim Im T Rightarrow dim Im T = dim W seja injetora. Isso significa que o núcleo de contém apenas o vetor zero, ou seja, . Substituindo na equação:
Como a imagem de tem a mesma dimensão que e , isso implica que , ou seja, é sobrejetora.

Passo 6

Agora, vamos supor que dim W = dim ker T + dim W Rightarrow dim ker T = 0 seja sobrejetora. Assim, , então . Substituindo na equação do teorema:
Isso significa que o núcleo de contém apenas o vetor zero, ou seja, é injetora.

Resposta

Portanto, mostramos que, quando , a transformação linear é injetora se e somente se é sobrejetora.

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