Seja
uma transformação linear. Mostre que: Supondo que
é injetora
é sobrejetora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear
onde os espaços vetoriais
e
têm a mesma dimensão, ou seja,
. Nosso objetivo é mostrar que, sob essa condição,
ser injetora é a mesma coisa que
ser sobrejetora. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que significam essas propriedades e como elas se relacionam quando as dimensões dos espaços são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente,
é injetora se diferentes vetores em
são mapeados para diferentes vetores em
. Formalmente,
é injetora se
implica que
.
Por outro lado,
é sobrejetora se todo vetor em
é imagem de pelo menos um vetor em
. Ou seja, para todo
, existe pelo menos um
tal que
.
Passo 3
Agora, vamos usar o Teorema da Dimensão (também conhecido como Teorema da Base ou Teorema do Núcleo e Imagem). Esse teorema diz que:
Onde
é o núcleo de
(conjunto dos vetores que são mapeados para o vetor zero em
) e
é a imagem de
(conjunto de todos os vetores em
que são imagens de vetores em
).
Passo 4
Como
, podemos substituir na equação do teorema:
Queremos mostrar que
é injetora se e somente se é sobrejetora.
Passo 5
Primeiro, suponha que
seja injetora. Isso significa que o núcleo de
contém apenas o vetor zero, ou seja,
. Substituindo na equação:
Como a imagem de
tem a mesma dimensão que
e
, isso implica que
, ou seja,
é sobrejetora.
Passo 6
Agora, vamos supor que
seja sobrejetora. Assim,
, então
. Substituindo na equação do teorema:
Isso significa que o núcleo de
contém apenas o vetor zero, ou seja,
é injetora.
Resposta
Portanto, mostramos que, quando
, a transformação linear
é injetora se e somente se é sobrejetora.