Determine os valores de a com os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.
x+2 y+z & =2 2 x-2 y+3 z & =1 x+2 y-(a^2-3) z & =a

Passo 1

Vamos analisar o sistema de equações dado:
x + 2y + z &= 2 2x - 2y + 3z &= 1 x + 2y - (a^2 - 3)z &= a
Queremos encontrar os valores de para os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções. Para isso, vamos utilizar conceitos de sistemas lineares, especificamente o determinante da matriz dos coeficientes e o rank da matriz ampliada.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema e calcular seu determinante. A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 2 & 1 2 & -2 & 3 1 & 2 & -(a^2 - 3)
O determinante dessa matriz, , nos ajudará a saber se o sistema tem uma única solução ou não. Se , o sistema tem exatamente uma solução. Se , precisamos analisar mais para ver se não tem solução ou tem infinitas soluções.

Passo 3

Vamos calcular o determinante det(A) = 1 cdot -2 & 3 2 & -(a^2 - 3) - 2 cdot 2 & 3 1 & -(a^2 - 3) + 1 cdot 2 & -2 1 & 2 :
-2 & 3 2 & -(a^2 - 3)
Calculando cada menor:
  1. 2 & 3 1 & -(a^2 - 3)
  2. 2 & -2 1 & 2
  3. det(A) = 1 cdot (2a^2 - 12) - 2 cdot (-2a^2 + 3) + 1 cdot 6 = 2a^2 - 12 + 4a^2 - 6 + 6 = 6a^2 - 12
Agora, substituindo de volta:

Passo 4

Simplificando o determinante:
det(A) = 6a^2 - 12 = 6(a^2 - 2)
Agora, vamos analisar os casos com base no valor de :
  1. Se : Ou seja, se , o sistema tem exatamente uma solução.
  2. Se : Ou seja, se , o que ocorre quando ou . Nesse caso, precisamos verificar o rank da matriz ampliada para determinar se o sistema não tem solução ou tem infinitas soluções.

Passo 5

Vamos analisar o caso onde x + 2y - ((raiz2)^2 - 3)z = raiz2 x + 2y - (2 - 3)z = raiz2 x + 2y + z = raiz2 , ou seja, .
Substituindo na terceira equação:
Comparando com a primeira equação , vemos que , o que é uma contradição. Portanto, para , o sistema não tem solução.
O mesmo vale para , pois a substituição resultará em , que também é diferente de , levando a uma contradição. Assim, para , o sistema não tem solução.

Resposta

  • O sistema tem exatamente uma solução para todo valor de diferente de e .
  • Não há solução quando ou .
  • O sistema nunca tem uma infinidade de soluções para nenhum valor de .

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