Jane e David jogam dois jogos de golfe.A probabilidade de que Jane vença o primeiro jogo é
. Se Jane vencer o primeiro jogo, a probabilidade de que ela ganhe o segundo jogo é 6/7. Se Jane perder o primeiro jogo, a probabilidade de ela ganhar o segundo jogo é de
.
Descreva os eventos de interesse e represente as informações dadas utilizando um diagrama de árvore ou linguagem probabilística;
- Encontre a probabilidade de que Jane vença o primeiro jogo e David vença o segundo jogo;
- Encontre a probabilidade de que David vença pelo menos um jogo;
- Dado que David vence pelo menos um jogo, encontre a probabilidade de ele ganhar os dois jogos.
Descreva os eventos de interesse e represente as informações dadas utilizando um diagrama de árvore ou linguagem probabilística;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre Jane e David jogando dois jogos de golfe. A gente vai trabalhar com probabilidade, especificamente probabilidade condicional, que é quando a chance de um evento depende de outro evento que já aconteceu. Para resolver, vamos definir os eventos, montar um diagrama de árvore para visualizar as possibilidades e aplicar as regras de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os eventos:
- J1: Jane vence o primeiro jogo.
- D1: David vence o primeiro jogo.
- J2|J1: Jane vence o segundo jogo dado que venceu o primeiro.
- J2|D1: Jane vence o segundo jogo dado que perdeu o primeiro.
Com isso, podemos montar um diagrama de árvore que mostra as possíveis combinações dos resultados dos dois jogos e suas probabilidades.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a probabilidade de que Jane vença o primeiro jogo e David vença o segundo jogo.
Sabemos que:
- P(J1) = 5/6
- Se Jane vence o primeiro jogo, a probabilidade de ela ganhar o segundo é 6/7. Então, a probabilidade de David ganhar o segundo jogo dado que Jane venceu o primeiro é 1 - 6/7 = 1/7.
Então, a probabilidade de Jane ganhar o primeiro e David ganhar o segundo é:
Passo 4
Vamos encontrar a probabilidade de que David vença pelo menos um jogo. Isso significa que David ganha o primeiro, ou ganha o segundo, ou ambos.
Primeiro, calculamos a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de David não ganhar nenhum jogo (Jane vence ambos).
- P(J1 e J2|J1) = P(J1) × P(J2|J1) = (5/6) × (6/7) = 5/7
Então, a probabilidade de David ganhar pelo menos um jogo é:
Passo 5
Por último, queremos a probabilidade de David ganhar os dois jogos, dado que ele ganha pelo menos um.
Primeiro, identificamos que para David ganhar os dois jogos:
- Ele precisa perder o primeiro (já que Jane ganha ou perde o primeiro) e ganhar o segundo.
- Mas pelo enunciado, se Jane perde o primeiro, a probabilidade de Jane ganhar o segundo é 3/4, então David ganhar o segundo é 1 - 3/4 = 1/4.
Então:
Aplicando a regra de probabilidade condicional:
Resposta
-
Probabilidade de Jane vencer o primeiro jogo e David vencer o segundo jogo:
. -
Probabilidade de David vencer pelo menos um jogo:
. -
Probabilidade de David ganhar os dois jogos, dado que ele vence pelo menos um jogo:
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