Jane e David jogam dois jogos de golfe.A probabilidade de que Jane vença o primeiro jogo é 5 / 6. Se Jane vencer o primeiro jogo, a probabilidade de que ela ganhe o segundo jogo é 6/7. Se Jane perder o primeiro jogo, a probabilidade de ela ganhar o segundo jogo é de 3 / 4.
Descreva os eventos de interesse e represente as informações dadas utilizando um diagrama de árvore ou linguagem probabilística;
  • Encontre a probabilidade de que Jane vença o primeiro jogo e David vença o segundo jogo;
  • Encontre a probabilidade de que David vença pelo menos um jogo;
  • Dado que David vence pelo menos um jogo, encontre a probabilidade de ele ganhar os dois jogos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre Jane e David jogando dois jogos de golfe. A gente vai trabalhar com probabilidade, especificamente probabilidade condicional, que é quando a chance de um evento depende de outro evento que já aconteceu. Para resolver, vamos definir os eventos, montar um diagrama de árvore para visualizar as possibilidades e aplicar as regras de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos:
  • J1: Jane vence o primeiro jogo.
  • D1: David vence o primeiro jogo.
  • J2|J1: Jane vence o segundo jogo dado que venceu o primeiro.
  • J2|D1: Jane vence o segundo jogo dado que perdeu o primeiro.
Com isso, podemos montar um diagrama de árvore que mostra as possíveis combinações dos resultados dos dois jogos e suas probabilidades.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a probabilidade de que Jane vença o primeiro jogo e David vença o segundo jogo.
Sabemos que:
  • P(J1) = 5/6
  • Se Jane vence o primeiro jogo, a probabilidade de ela ganhar o segundo é 6/7. Então, a probabilidade de David ganhar o segundo jogo dado que Jane venceu o primeiro é 1 - 6/7 = 1/7.
Então, a probabilidade de Jane ganhar o primeiro e David ganhar o segundo é:
P(J1) times P(D2|J1) = 56 times 17 = 542

Passo 4

Vamos encontrar a probabilidade de que David vença pelo menos um jogo. Isso significa que David ganha o primeiro, ou ganha o segundo, ou ambos.
Primeiro, calculamos a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de David não ganhar nenhum jogo (Jane vence ambos).
  • P(J1 e J2|J1) = P(J1) × P(J2|J1) = (5/6) × (6/7) = 5/7
Então, a probabilidade de David ganhar pelo menos um jogo é:
1 - 57 = 27

Passo 5

Por último, queremos a probabilidade de David ganhar os dois jogos, dado que ele ganha pelo menos um.
Primeiro, identificamos que para David ganhar os dois jogos:
  • Ele precisa perder o primeiro (já que Jane ganha ou perde o primeiro) e ganhar o segundo.
  • Mas pelo enunciado, se Jane perde o primeiro, a probabilidade de Jane ganhar o segundo é 3/4, então David ganhar o segundo é 1 - 3/4 = 1/4.
Então:
P(D1 e D2) = P(D1) times P(D2|D1) = 16 times 14 = 124
Aplicando a regra de probabilidade condicional:
P(D1 e D2 | David ganha pelo menos um) = P(D1 e D2)P(David ganha pelo menos um) = 12427 = 748

Resposta

  1. Probabilidade de Jane vencer o primeiro jogo e David vencer o segundo jogo: .
  2. Probabilidade de David vencer pelo menos um jogo: .
  3. Probabilidade de David ganhar os dois jogos, dado que ele vence pelo menos um jogo: .

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