Qual a probabilidade de que o número de máquinas avariadas em um dia seja entre 2 (incluso) e 5 (incluso)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é a probabilidade de que o número de máquinas que ficarem avariadas em um dia esteja entre 2 e 5, incluindo esses números. Vamos usar conceitos de probabilidade e, mais especificamente, vamos falar sobre a distribuição binomial, que é ótima para esse tipo de situação onde temos um número fixo de tentativas independentes, no caso, as máquinas funcionando.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que cada máquina tem uma certa chance de falhar em um dia. Vamos chamar a probabilidade de uma máquina falhar de P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k . Se tivermos máquinas no total, a distribuição binomial nos ajuda a calcular a probabilidade de exatamente máquinas falharem.
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
  • é o número de maneiras de escolher máquinas que falharão entre as disponíveis.
  • é a probabilidade de máquinas falharem.
  • é a probabilidade de as demais máquinas não falharem.

Passo 3

Como queremos a probabilidade de que entre 2 e 5 máquinas falhem, precisamos calcular a soma das probabilidades de exatamente 2, 3, 4 e 5 máquinas falharem. Ou seja:
P(2 <= X <= 5) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula da binomial para cada valor de P(X=2) = binomn2 times p^2 times (1 - p)^n - 2 de 2 a 5:
P(X=3) = binomn3 times p^3 times (1 - p)^n - 3
P(X=4) = binomn4 times p^4 times (1 - p)^n - 4
P(X=5) = binomn5 times p^5 times (1 - p)^n - 5
Depois, somamos todas essas probabilidades para obter a resposta final.

Resposta

A probabilidade de que entre 2 e 5 máquinas falhem em um dia é:
P(2 <= X <= 5) = sumk=2^5 binomnk times p^k times (1 - p)^n - k

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