Uma jarra de alumínio tem capacidade volumétrica de
a
e está parcialmente cheia com
de um certo líquido. Porém quando o conjunto é aquecido até
o líquido passa ocupara todo o volume do recipiente. (a) Qual o coeficiente de expansão volumétrica desse líquido? (b) Qual a dilatação aparente verificada no processo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema onde uma jarra de alumínio com capacidade de
a
está parcialmente cheia com
de um líquido. Quando a jarra é aquecida até
, o líquido ocupa todo o volume da jarra. Vamos resolver duas partes:
(a) Encontrar o coeficiente de expansão volumétrica desse líquido.
(b) Determinar a dilatação aparente observada no processo.
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de dilatação térmica, que nos ajuda a entender como os materiais mudam de volume com a temperatura. Vamos aplicar as fórmulas de expansão volumétrica para o líquido e para a jarra de alumínio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece quando a temperatura aumenta. Tanto o líquido quanto a jarra de alumínio vão se expandir. A quantidade de expansão depende do coeficiente de expansão volumétrica de cada material.
A fórmula geral para a variação de volume devido à temperatura é:
Onde:
-
é a variação de volume, -
é o volume inicial, -
é o coeficiente de expansão volumétrica, -
é a variação de temperatura.
Passo 3
Vamos identificar os dados que temos:
- Volume inicial da jarra (
): - Volume inicial do líquido (
): - Temperatura inicial (
): - Temperatura final (
): - Variação de temperatura (
):
Passo 4
Quando a temperatura aumenta, tanto a jarra quanto o líquido expandem. No entanto, na temperatura final, o líquido ocupa todo o volume da jarra, ou seja, o volume final do líquido (
) é igual ao volume final da jarra (
).
Vamos considerar as expansões:
- Expansão da jarra de alumínio:
- Expansão do líquido:
Sabemos que o volume final da jarra é:
E o volume final do líquido é:
Como
, podemos igualar as duas expressões.
Passo 5
Vamos substituir as expressões de
:
Podemos fatorar
e
:
Queremos encontrar
, então vamos isolar essa variável.
Passo 6
Isolando
:
Primeiro, dividimos ambos os lados por
:
Agora, subtraímos 1 de ambos os lados:
Finalmente, dividimos por
para encontrar
:
Passo 7
Agora, vamos substituir os valores conhecidos. Mas antes, precisamos saber o coeficiente de expansão volumétrica do alumínio (
). Procurando na tabela, encontramos que
para o alumínio é aproximadamente
.
Substituindo os valores:
Vamos calcular passo a passo.
Passo 8
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Multiplicamos os dois resultados:
Agora, subtraímos 1:
Por fim, dividimos por
:
Ou, expressando em notação científica:
Passo 9
Pronto! Calculamos o coeficiente de expansão volumétrica do líquido. Agora, vamos para a parte (b), que pede a dilatação aparente observada no processo.
A dilatação aparente é a diferença entre a dilatação real do líquido e a dilatação do recipiente (jarra). Ou seja:
Vamos calcular cada termo.
Passo 10
Primeiro, calculamos a dilatação do líquido:
Substituindo os valores:
Agora, a dilatação da jarra:
Substituindo os valores:
Passo 11
Agora, calculamos a dilatação aparente:
Então, a dilatação aparente observada é de aproximadamente
.
Resposta
(a) O coeficiente de expansão volumétrica do líquido é aproximadamente
.
(b) A dilatação aparente verificada no processo é de aproximadamente
.
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