Uma jarra de alumínio tem capacidade volumétrica de a e está parcialmente cheia com de um certo líquido. Porém quando o conjunto é aquecido até o líquido passa ocupara todo o volume do recipiente. (a) Qual o coeficiente de expansão volumétrica desse líquido? (b) Qual a dilatação aparente verificada no processo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema onde uma jarra de alumínio com capacidade de a está parcialmente cheia com de um líquido. Quando a jarra é aquecida até , o líquido ocupa todo o volume da jarra. Vamos resolver duas partes:
(a) Encontrar o coeficiente de expansão volumétrica desse líquido.
(b) Determinar a dilatação aparente observada no processo.
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de dilatação térmica, que nos ajuda a entender como os materiais mudam de volume com a temperatura. Vamos aplicar as fórmulas de expansão volumétrica para o líquido e para a jarra de alumínio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando a temperatura aumenta. Tanto o líquido quanto a jarra de alumínio vão se expandir. A quantidade de expansão depende do coeficiente de expansão volumétrica de cada material.
A fórmula geral para a variação de volume devido à temperatura é:
Onde:
  • é a variação de volume,
  • é o volume inicial,
  • é o coeficiente de expansão volumétrica,
  • é a variação de temperatura.

Passo 3

Vamos identificar os dados que temos:
  • Volume inicial da jarra ( ):
  • Volume inicial do líquido ( í):
  • Temperatura inicial ( ):
  • Temperatura final ( ):
  • Variação de temperatura ( ):

Passo 4

Quando a temperatura aumenta, tanto a jarra quanto o líquido expandem. No entanto, na temperatura final, o líquido ocupa todo o volume da jarra, ou seja, o volume final do líquido ( í) é igual ao volume final da jarra ( ).
Vamos considerar as expansões:
  • Expansão da jarra de alumínio:
  • Expansão do líquido:
ííí
Sabemos que o volume final da jarra é:
E o volume final do líquido é:
ííí
Como í, podemos igualar as duas expressões.

Passo 5

Vamos substituir as expressões de :
ííí
Podemos fatorar í e :
íí
Queremos encontrar í, então vamos isolar essa variável.

Passo 6

Isolando í:
Primeiro, dividimos ambos os lados por í:
íí
Agora, subtraímos 1 de ambos os lados:
íí
Finalmente, dividimos por para encontrar í:
íí

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores conhecidos. Mas antes, precisamos saber o coeficiente de expansão volumétrica do alumínio ( ). Procurando na tabela, encontramos que para o alumínio é aproximadamente .
Substituindo os valores:
  • í
Vamos calcular passo a passo.

Passo 8

Primeiro, calculamos í:
Em seguida, calculamos :
Multiplicamos os dois resultados:
Agora, subtraímos 1:
Por fim, dividimos por :
í
Ou, expressando em notação científica:
í

Passo 9

Pronto! Calculamos o coeficiente de expansão volumétrica do líquido. Agora, vamos para a parte (b), que pede a dilatação aparente observada no processo.
A dilatação aparente é a diferença entre a dilatação real do líquido e a dilatação do recipiente (jarra). Ou seja:
í
Vamos calcular cada termo.

Passo 10

Primeiro, calculamos a dilatação do líquido:
ííí
Substituindo os valores:
í
Agora, a dilatação da jarra:
Substituindo os valores:

Passo 11

Agora, calculamos a dilatação aparente:
Então, a dilatação aparente observada é de aproximadamente .

Resposta

(a) O coeficiente de expansão volumétrica do líquido é aproximadamente .
(b) A dilatação aparente verificada no processo é de aproximadamente .

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