Uma jarra de alumínio tem capacidade volumétrica de 1,5 l a 20,0^circ C e está parcialmente cheia com 1,45 l de um certo líquido. Porém quando o conjunto é aquecido até 80,0^circ C o líquido passa ocupara todo o volume do recipiente. (a) Qual o coeficiente de expansão volumétrica desse líquido? (b) Qual a dilatação aparente verificada no processo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema onde uma jarra de alumínio com capacidade de 1,5 l a 20,0^circ C está parcialmente cheia com 1,45 l de um líquido. Quando a jarra é aquecida até 80,0^circ C, o líquido ocupa todo o volume da jarra. Vamos resolver duas partes:
(a) Encontrar o coeficiente de expansão volumétrica desse líquido.
(b) Determinar a dilatação aparente observada no processo.
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de dilatação térmica, que nos ajuda a entender como os materiais mudam de volume com a temperatura. Vamos aplicar as fórmulas de expansão volumétrica para o líquido e para a jarra de alumínio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando a temperatura aumenta. Tanto o líquido quanto a jarra de alumínio vão se expandir. A quantidade de expansão depende do coeficiente de expansão volumétrica de cada material.
A fórmula geral para a variação de volume devido à temperatura é:
De
Onde:
  • De é a variação de volume,
  • V0 é o volume inicial,
  • beta é o coeficiente de expansão volumétrica,
  • De é a variação de temperatura.

Passo 3

Vamos identificar os dados que temos:
  • Volume inicial da jarra ( Vjarra, inicial): 1,5 l
  • Volume inicial do líquido ( Vlíquido, inicialí): 1,45 l
  • Temperatura inicial ( Tinicial): 20,0^circ C
  • Temperatura final ( Tfinal): 80,0^circ C
  • Variação de temperatura ( De): 80,0 - 20,0 = 60,0^circ C

Passo 4

Quando a temperatura aumenta, tanto a jarra quanto o líquido expandem. No entanto, na temperatura final, o líquido ocupa todo o volume da jarra, ou seja, o volume final do líquido ( Vlíquido, finalí) é igual ao volume final da jarra ( Vjarra, final).
Vamos considerar as expansões:
  • Expansão da jarra de alumínio:
De
  • Expansão do líquido:
Deííí
Sabemos que o volume final da jarra é:
Vjarra, final = Vjarra, inicial + De
E o volume final do líquido é:
Vlíquido, final = Vlíquido, inicial + Deííí
Como Vlíquido, final = Vjarra, finalí, podemos igualar as duas expressões.

Passo 5

Vamos substituir as expressões de De:
Vlíquido, inicial + Vlíquido, inicial cdot betalíquido cdot Deííí
Podemos fatorar Vlíquido, inicialí e Vjarra, inicial:
Vlíquido, inicial (1 + betalíquido cdot Deíí
Queremos encontrar betalíquidoí, então vamos isolar essa variável.

Passo 6

Isolando betalíquidoí:
Primeiro, dividimos ambos os lados por Vlíquido, inicialí:
1 + betalíquido cdot Deíí
Agora, subtraímos 1 de ambos os lados:
betalíquido cdot Deíí
Finalmente, dividimos por De para encontrar betalíquidoí:
betalíquido = Vjarra, inicialVlíquido, inicial (1 + betajarra cdot Deíí

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores conhecidos. Mas antes, precisamos saber o coeficiente de expansão volumétrica do alumínio ( betajarra). Procurando na tabela, encontramos que betajarra para o alumínio é aproximadamente 69 times 10^-6 , °C^-1.
Substituindo os valores:
  • Vjarra, inicial = 1,5 l
  • Vlíquido, inicial = 1,45 lí
  • betajarra = 69 times 10^-6 , °C^-1
  • De
Vamos calcular passo a passo.

Passo 8

Primeiro, calculamos Vjarra, inicialVlíquido, inicialí:
1,51,45 approx 1,0345
Em seguida, calculamos 1 + betajarra cdot De:
1 + (69 times 10^-6) cdot 60 approx 1 + 0,00414 = 1,00414
Multiplicamos os dois resultados:
1,0345 times 1,00414 approx 1,0389
Agora, subtraímos 1:
1,0389 - 1 = 0,0389
Por fim, dividimos por De:
betalíquido = 0,038960 approx 0,000648 , °C^-1 í
Ou, expressando em notação científica:
betalíquido approx 6,48 times 10^-4 , °C^-1 í

Passo 9

Pronto! Calculamos o coeficiente de expansão volumétrica do líquido. Agora, vamos para a parte (b), que pede a dilatação aparente observada no processo.
A dilatação aparente é a diferença entre a dilatação real do líquido e a dilatação do recipiente (jarra). Ou seja:
Deí
Vamos calcular cada termo.

Passo 10

Primeiro, calculamos a dilatação do líquido:
Deííí
Substituindo os valores:
Deí
Agora, a dilatação da jarra:
De
Substituindo os valores:
De

Passo 11

Agora, calculamos a dilatação aparente:
De
Então, a dilatação aparente observada é de aproximadamente 0,0501 l.

Resposta

(a) O coeficiente de expansão volumétrica do líquido é aproximadamente 6,48 times 10^-4 , °C^-1.
(b) A dilatação aparente verificada no processo é de aproximadamente 0,0501 l.

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