Um jato de água é dirigido contra uma pá defletora, que poderia ser uma pá de turbina ou outra peça de uma máquina hidráulica qualquer. A água sai de um bocal estacionário, de 40 mm de diâmetro, com uma velocidade de 25 m / s e entra na pá tangente à sua superfície em A. A superfície interna da pá em B faz um ângulo theta=150^circ com a direção x. Calcule a força que deve ser aplicada sobre a pá para manter sua velocidade constante em U=5 m / s.

Passo 1

Beleza, vamos desvendar esse problema juntos! Temos um jato de água que sai de um bocal com diâmetro de e velocidade de . Essa água bate numa pá, que precisa ser mantida em velocidade constante de . O ângulo que a superfície interna da pá faz com a direção é de . Usaremos conceitos de Mecânica dos Fluidos, especificamente o Teorema do Impulso (ou Teorema de Newton para a conservação do momento).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área do bocal por onde a água está saindo. Como o diâmetro é r = 0.042 = 0.02 , m , ou seja, A = pi r^2 = pi (0.02)^2 approx 0.001256 , m^2 , o raio será metade disso:
A área de um círculo é dada por:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a taxa de fluxo de massa ( dotm = rho cdot A cdot v ) da água que está saindo do bocal. A fórmula para isso é:
dotm = 1000 times 0.001256 times 25 approx 31.4 , kg/s
Onde:
  • é a densidade da água ( ),
  • é a área que já calculamos,
  • é a velocidade da água ( ).
Substituindo os valores:

Passo 4

O próximo passo é determinar a variação do momento da água ao interagir com a pá. O momento é dado por vfx = U cos(theta) = 5 cos(150^circ) = 5 times (-0.866) approx -4.33 , m/s . Como a água muda de direção, precisamos considerar as componentes das velocidades antes e depois do impacto.
Dado que o ângulo vfy = U sin(theta) = 5 sin(150^circ) = 5 times 0.5 = 2.5 , m/s , podemos decompor a velocidade final em componentes e :
A velocidade inicial da água era na direção .

Passo 5

A força necessária para manter a pá em velocidade constante é igual à taxa de variação do momento da água. A fórmula é:
F = dotm (vf - vi)
Calculando as diferenças nas componentes:
De
De
Agora, multiplicamos pela taxa de fluxo de massa:
Fx = 31.4 times (-29.33) approx -920.2 , N
Fy = 31.4 times 2.5 approx 78.5 , N

Resposta

A força que deve ser aplicada sobre a pá para manter sua velocidade constante é de aproximadamente na direção e na direção .

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