Considere o campo de escoamento dado por
. Determine (a) o número de dimensões do escoamento, (b) se ele é um possível escoamento incompressível, e © a aceleração de uma partícula fluida no ponto
.
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos um campo de escoamento definido por
. Precisamos resolver três partes:
(a) Descobrir o número de dimensões do escoamento.
(b) Verificar se esse escoamento é incompressível.
© Calcular a aceleração de uma partícula fluida no ponto .
(b) Verificar se esse escoamento é incompressível.
© Calcular a aceleração de uma partícula fluida no ponto
Para isso, vamos usar conceitos de mecânica de fluidos e cálculo vetorial.
Passo 2
Parte (a): Número de dimensões do escoamento
Vamos determinar em quantas dimensões o escoamento ocorre. Olhando para o campo de velocidade
, vemos que ele depende das coordenadas
,
e
. Porém, observamos que a componente em
(que é a direção
) depende apenas de
e
. Não há variação com relação a
, então o escoamento está ocorrendo em duas dimensões (
e
).
Passo 3
Parte (b): Verificar se o escoamento é incompressível
Um escoamento é incompressível se a divergência do campo de velocidade for zero. A divergência de
é dada por:
Vamos calcular cada derivada:
Somando:
Como a divergência é zero, o escoamento é incompressível.
Passo 4
Parte ©: Calcular a aceleração no ponto
A aceleração
em um escoamento é dada pela derivada material da velocidade:
Isso significa que precisamos calcular:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
:
Agora, avaliamos as componentes da velocidade no ponto
:
Substituindo na expressão da aceleração:
Substituindo
e
:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Simplificando:
Resposta
(a) O escoamento ocorre em duas dimensões.
(b) Sim, é um escoamento incompressível.
© A aceleração no ponto é
.
(b) Sim, é um escoamento incompressível.
© A aceleração no ponto