Considere o campo de escoamento dado por . Determine (a) o número de dimensões do escoamento, (b) se ele é um possível escoamento incompressível, e © a aceleração de uma partícula fluida no ponto .

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos um campo de escoamento definido por . Precisamos resolver três partes:
(a) Descobrir o número de dimensões do escoamento.
(b) Verificar se esse escoamento é incompressível.
© Calcular a aceleração de uma partícula fluida no ponto .
Para isso, vamos usar conceitos de mecânica de fluidos e cálculo vetorial.

Passo 2

Parte (a): Número de dimensões do escoamento
Vamos determinar em quantas dimensões o escoamento ocorre. Olhando para o campo de velocidade , vemos que ele depende das coordenadas , e . Porém, observamos que a componente em (que é a direção ) depende apenas de e . Não há variação com relação a , então o escoamento está ocorrendo em duas dimensões ( e ).

Passo 3

Parte (b): Verificar se o escoamento é incompressível
Um escoamento é incompressível se a divergência do campo de velocidade for zero. A divergência de é dada por:
Vamos calcular cada derivada:
Somando:
Como a divergência é zero, o escoamento é incompressível.

Passo 4

Parte ©: Calcular a aceleração no ponto
A aceleração em um escoamento é dada pela derivada material da velocidade:
Isso significa que precisamos calcular:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de :
Agora, avaliamos as componentes da velocidade no ponto :
Substituindo na expressão da aceleração:
Substituindo e :
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Simplificando:

Resposta

(a) O escoamento ocorre em duas dimensões.
(b) Sim, é um escoamento incompressível.
© A aceleração no ponto é .

Exercícios relacionados

Um jato de água é dirigido contra uma pá defletora, que poderia ser uma pá de turbina ou outra peça de uma máquina hidráulica qualquer. A água sai de um bocal estacionário, de de diâmetro, com uma velocidade de e entra na pá tangente à sua superfície em . A superfície interna da pá em faz um ângulo com a direção . Calcule a força que deve ser aplicada sobre a pá para manter sua velocidade constante em .
Um motor de foguete a combustível líquido consome, na condição de empuxo nominal, de ácido nítrico como oxidante e de anilina como combustível. Os gases de escape saem axialmente a em relação ao bocal de descarga e a 110 kPa . O diâmetro de saída do bocal é . Calcule o empuxo produzido pelo motor em uma bancada de testes instalada no nível do mar.
Um dispositivo de formação de jato é mostrado no diagrama. A água é fornecida a (manométrica) através da abertura flangeada de área . A água sai do dispositivo em um jato livre, em regime permanente, à pressão atmosférica. A área e a velocidade do jato são . O dispositivo tem
massa de e contém cm3 de água. Determine a força exercida pelo dispositivo sobre o tubo de suprimento de água.
Água escoa através do cotovelo e descarrega para atmosfera. O diâmetro do tubo na seção 1 é 10 cm , enquanto na seção 2 é 3 cm . Para uma vazão em peso de , a pressão na seção . Desprezando o peso da água e o peso do cotovelo, calcule a força sobre os parafusos dos flanges na seção 1 .
Resp:2115,6 kN
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Mecânica dos Fluidos e Transferência de Calor e Massa - EC75A
Área