Considere o campo de escoamento dado por V=x y^2 i-13 y^3 j+x y k. Determine (a) o número de dimensões do escoamento, (b) se ele é um possível escoamento incompressível, e © a aceleração de uma partícula fluida no ponto (x, y, z)=(1,2,3).

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos um campo de escoamento definido por V = x y^2 i - 13 y^3 j + x y k. Precisamos resolver três partes:
(a) Descobrir o número de dimensões do escoamento.
(b) Verificar se esse escoamento é incompressível.
© Calcular a aceleração de uma partícula fluida no ponto (1, 2, 3).
Para isso, vamos usar conceitos de mecânica de fluidos e cálculo vetorial.

Passo 2

Parte (a): Número de dimensões do escoamento
Vamos determinar em quantas dimensões o escoamento ocorre. Olhando para o campo de velocidade V = x y^2 i - 13 y^3 j + x y k, vemos que ele depende das coordenadas x, y e z. Porém, observamos que a componente em k (que é a direção z) depende apenas de x e y. Não há variação com relação a z, então o escoamento está ocorrendo em duas dimensões ( x e y).

Passo 3

Parte (b): Verificar se o escoamento é incompressível
Um escoamento é incompressível se a divergência do campo de velocidade for zero. A divergência de V é dada por:
nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z
Vamos calcular cada derivada:
  1. partial Vxpartial x = partialpartial x (x y^2) = y^2
  2. partial Vypartial y = partialpartial y ( -13 y^3 ) = -y^2
  3. partial Vzpartial z = partialpartial z (x y) = 0
Somando:
nabla cdot V = y^2 - y^2 + 0 = 0
Como a divergência é zero, o escoamento é incompressível.

Passo 4

Parte ©: Calcular a aceleração no ponto (1, 2, 3)
A aceleração a em um escoamento é dada pela derivada material da velocidade:
a = DVDt = ( V cdot nabla ) V
Isso significa que precisamos calcular:
a = Vx partial Vpartial x + Vy partial Vpartial y + Vz partial Vpartial z
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de V:
  1. partial Vpartial x = partialpartial x (x y^2 i - 13 y^3 j + x y k) = y^2 i + y k
  2. partial Vpartial y = partialpartial y (x y^2 i - 13 y^3 j + x y k) = 2x y i - y^2 j + x k
  3. partial Vpartial z = partialpartial z (x y^2 i - 13 y^3 j + x y k) = 0
Agora, avaliamos as componentes da velocidade no ponto (1, 2, 3):
  • Vx = 1 cdot 2^2 = 4
  • Vy = -13 cdot 2^3 = -83
  • Vz = 1 cdot 2 = 2
Substituindo na expressão da aceleração:
a = 4 (y^2 i + y k) + ( -83 ) (2x y i - y^2 j + x k) + 2 cdot 0
Substituindo x=1 e y=2:
a = 4 (4 i + 2 k) + ( -83 ) (4 i - 4 j + 1 k)
Calculando cada termo:
  1. 4 (4 i + 2 k) = 16 i + 8 k
  2. -83 (4 i - 4 j + 1 k) = -323 i + 323 j - 83 k
Somando tudo:
a = (16 - 323) i + 323 j + (8 - 83) k
Simplificando:
a = 16 cdot 3 - 323 i + 323 j + 24 - 83 k = 48 - 323 i + 323 j + 163 k
a = 163 i + 323 j + 163 k

Resposta

(a) O escoamento ocorre em duas dimensões.
(b) Sim, é um escoamento incompressível.
© A aceleração no ponto (1, 2, 3) é a = 163 i + 323 j + 163 k.

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