Joga-se um dado honesto. O número que ocorreu (isto é, da face voltada para cima) é o coeficiente b da equação x^2+b x+1=0.
Determine:
a) a probabilidade de essa equação ter raizes reais;

Passo 1

Vamos lá! A questão nos pede para calcular a probabilidade de que a equação quadrática tenha raízes reais, sendo o número que saiu ao jogar um dado honesto. Aqui, estamos trabalhando com probabilidade e álgebra, especificamente com a condição para uma equação quadrática ter raízes reais. Precisaremos entender o que determina se uma equação quadrática possui raízes reais utilizando o discriminante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma equação do segundo grau da forma D = b^2 - 4ac , o discriminante é dado por:
Esse discriminante nos diz o tipo de raízes que a equação possui:
  • Se , há duas raízes reais e distintas.
  • Se , há duas raízes reais e iguais.
  • Se , não há raízes reais (as raízes são complexas).

Passo 3

Na nossa equação específica, temos:
  • D = b^2 - 4 times 1 times 1 = b^2 - 4
  • é o número que saiu no dado, ou seja, um valor inteiro de 1 a 6.
Substituindo esses valores na fórmula do discriminante:

Passo 4

Queremos que a equação tenha raízes reais, ou seja, que b^2 - 4 >= 0 implies b^2 >= 4 :
|b| >= 2
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
b >= 2
Como é um número positivo (1 a 6), podemos simplificar para:

Passo 5

Agora, vamos ver quais valores de satisfazem . Os valores possíveis de ao jogar um dado honesto são 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Destes, os valores que satisfazem são 2, 3, 4, 5 e 6. Portanto, há 5 resultados favoráveis.

Passo 6

Como o dado é honesto, cada face tem a mesma probabilidade de sair, ou seja, P = número de resu para cada número. Então, a probabilidade de sair um número que faz a equação ter raízes reais é a razão entre os resultados favoráveis e o total de possíveis resultados:
úáú

Resposta

A probabilidade de a equação ter raízes reais é .

Exercícios relacionados