Joga-se um dado honesto. O número que ocorreu (isto é, da face voltada para cima) é o coeficiente b da equação
.
Determine:
a) a probabilidade de essa equação ter raizes reais;
Determine:
a) a probabilidade de essa equação ter raizes reais;
Passo 1
Vamos lá! A questão nos pede para calcular a probabilidade de que a equação quadrática
tenha raízes reais, sendo
o número que saiu ao jogar um dado honesto. Aqui, estamos trabalhando com probabilidade e álgebra, especificamente com a condição para uma equação quadrática ter raízes reais. Precisaremos entender o que determina se uma equação quadrática possui raízes reais utilizando o discriminante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma equação do segundo grau da forma
, o discriminante
é dado por:
Esse discriminante nos diz o tipo de raízes que a equação possui:
- Se
, há duas raízes reais e distintas. - Se
, há duas raízes reais e iguais. - Se
, não há raízes reais (as raízes são complexas).
Passo 3
Na nossa equação específica, temos:
-
-
-
é o número que saiu no dado, ou seja, um valor inteiro de 1 a 6.
Substituindo esses valores na fórmula do discriminante:
Passo 4
Queremos que a equação tenha raízes reais, ou seja, que
:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Como
é um número positivo (1 a 6), podemos simplificar para:
Passo 5
Agora, vamos ver quais valores de
satisfazem
. Os valores possíveis de
ao jogar um dado honesto são 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Destes, os valores que satisfazem
são 2, 3, 4, 5 e 6. Portanto, há 5 resultados favoráveis.
Passo 6
Como o dado é honesto, cada face tem a mesma probabilidade de sair, ou seja,
para cada número. Então, a probabilidade de sair um número que faz a equação ter raízes reais é a razão entre os resultados favoráveis e o total de possíveis resultados:
Resposta
A probabilidade de a equação
ter raízes reais é
.