Joga-se um dado honesto. O número que ocorreu (isto é, da face voltada para cima) é o coeficiente b da equação
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Determine:
b) a probabilidade de essa equação ter raizes reais, sabendo-se que ocorreu um número impar.
Determine:
b) a probabilidade de essa equação ter raizes reais, sabendo-se que ocorreu um número impar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um problema de probabilidade envolvendo equações do segundo grau. O enunciado diz que a gente joga um dado honesto e usa o número que saiu como o coeficiente $ b $ na equação $ x^{2} + b x + 1 = 0 $. A pergunta é: qual é a probabilidade dessa equação ter raízes reais, sabendo que saiu um número ímpar no dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação do segundo grau ter raízes reais. Isso acontece quando o discriminante da equação é maior ou igual a zero. O discriminante, que geralmente chamamos de $ \Delta $, é calculado por $ \Delta = b^{2} - 4ac $. Na nossa equação, $ a = 1 $, $ b $ é o número que saiu no dado e $ c = 1 $.
Passo 3
Como a gente quer que as raízes sejam reais, temos que $ \Delta \geq 0 $. Então, vamos montar a desigualdade:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de $ b $ que satisfazem $ b^{2} \geq 4 $. Isso significa que $ b $ pode ser maior ou igual a 2 ou menor ou igual a -2. Porém, como estamos jogando um dado honesto, os possíveis valores de $ b $ são os números inteiros de 1 a 6.
Passo 5
Vamos ver quais desses números satisfazem $ b^{2} \geq 4 $:
- $ b = 1 $: $ 1^{2} = 1 $ → não satisfaz
- $ b = 3 $: $ 3^{2} = 9 $ → satisfaz
- $ b = 5 $: $ 5^{2} = 25 $ → satisfaz
Passo 6
Então, os números ímpares possíveis que podem sair no dado são 1, 3 e 5. Destes, apenas 3 e 5 fazem com que a equação tenha raízes reais. Ou seja, temos 2 casos favoráveis.
Passo 7
Como um dado honesto tem 6 faces, a probabilidade de sair um número ímpar é 3 em 6, ou seja, 1/2. Mas estamos condicionando a probabilidade a sair um número ímpar, então o total de possibilidades é 3.
Passo 8
Desses 3 números ímpares, 2 resultam em raízes reais. Então, a probabilidade é:
Resposta
A probabilidade é $ \frac{2}{3} $ ou aproximadamente 66,67%.