Joga-se um dado honesto. O número que ocorreu (isto é, da face voltada para cima) é o coeficiente b da equação x^2+b x+1=0.
Determine:
b) a probabilidade de essa equação ter raizes reais, sabendo-se que ocorreu um número impar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um problema de probabilidade envolvendo equações do segundo grau. O enunciado diz que a gente joga um dado honesto e usa o número que saiu como o coeficiente $ b $ na equação $ x^{2} + b x + 1 = 0 $. A pergunta é: qual é a probabilidade dessa equação ter raízes reais, sabendo que saiu um número ímpar no dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação do segundo grau ter raízes reais. Isso acontece quando o discriminante da equação é maior ou igual a zero. O discriminante, que geralmente chamamos de $ \Delta $, é calculado por $ \Delta = b^{2} - 4ac $. Na nossa equação, $ a = 1 $, $ b $ é o número que saiu no dado e $ c = 1 $.

Passo 3

Como a gente quer que as raízes sejam reais, temos que $ \Delta \geq 0 $. Então, vamos montar a desigualdade:
De= 0
b^2 - 4 times 1 times 1 >= 0
b^2 - 4 >= 0

Passo 4

Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de $ b $ que satisfazem $ b^{2} \geq 4 $. Isso significa que $ b $ pode ser maior ou igual a 2 ou menor ou igual a -2. Porém, como estamos jogando um dado honesto, os possíveis valores de $ b $ são os números inteiros de 1 a 6.

Passo 5

Vamos ver quais desses números satisfazem $ b^{2} \geq 4 $:
  • $ b = 1 $: $ 1^{2} = 1 $ → não satisfaz
  • $ b = 3 $: $ 3^{2} = 9 $ → satisfaz
  • $ b = 5 $: $ 5^{2} = 25 $ → satisfaz

Passo 6

Então, os números ímpares possíveis que podem sair no dado são 1, 3 e 5. Destes, apenas 3 e 5 fazem com que a equação tenha raízes reais. Ou seja, temos 2 casos favoráveis.

Passo 7

Como um dado honesto tem 6 faces, a probabilidade de sair um número ímpar é 3 em 6, ou seja, 1/2. Mas estamos condicionando a probabilidade a sair um número ímpar, então o total de possibilidades é 3.

Passo 8

Desses 3 números ímpares, 2 resultam em raízes reais. Então, a probabilidade é:
23

Resposta

A probabilidade é $ \frac{2}{3} $ ou aproximadamente 66,67%.

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