Um jogador de futebol chuta uma bola do topo de uma colina de 25 metros de altura, com uma velocidade de 72 km / h a um ângulo de 30 circ com a horizontal. Considere g=10 m / s^2
0,6
Qual o alcance horizontal da bola?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um jogador de futebol que chuta a bola do topo de uma colina de 25 metros com uma velocidade de 72 , km/h e um ângulo de 30^circ em relação à horizontal. Nosso objetivo é descobrir até onde a bola vai chegar na horizontal, ou seja, qual é o alcance horizontal da bola. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e movimento de projéteis.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter a velocidade de 72 , km/h para metros por segundo ( m/s), porque as unidades de altura estão em metros e a aceleração da gravidade em m/s^2. A conversão é feita assim:
72 , km/h = 72 times 1000 , m3600 , s = 20 , m/s
Então, a velocidade inicial da bola é de 20 , m/s.

Passo 3

Agora, vamos dividir essa velocidade inicial em suas componentes horizontal ( Vx) e vertical ( Vy) usando trigonometria. O ângulo dado é 30^circ.
Vx = V cdot cos(theta) = 20 cdot cos(30^circ) approx 20 cdot 0,8660 approx 17,32 , m/s
Vy = V cdot sin(theta) = 20 cdot sin(30^circ) = 20 cdot 0,5 = 10 , m/s
Então, a componente horizontal é aproximadamente 17,32 , m/s e a vertical é 10 , m/s.

Passo 4

Para descobrir o tempo que a bola vai ficar no ar ( t), precisamos considerar que ela parte de uma altura de 25 , m e sobe e desce devido à velocidade vertical e à gravidade ( g = 10 , m/s^2). Usamos a equação do movimento vertical:
Y = Y0 + Vy cdot t - 12 g t^2
Onde Y = 0 (no chão), Y0 = 25 , m, Vy = 10 , m/s. Substituindo:
0 = 25 + 10t - 5t^2
5t^2 - 10t - 25 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
t = 10 pm raiz(-10)^2 - 4 cdot 5 cdot (-25)2 cdot 5 = 10 pm raiz100 + 50010 = 10 pm raiz60010
raiz600 approx 24,4949
t approx 10 + 24,494910 approx 3,45 , s
Consideramos apenas a solução positiva, então o tempo de voo é de aproximadamente 3,45 , segundos.

Passo 5

Finalmente, para encontrar o alcance horizontal ( R), multiplicamos a componente horizontal da velocidade pelo tempo de voo:
R = Vx cdot t approx 17,32 , m/s times 3,45 , s approx 59,64 , m
Arredondando, temos que o alcance horizontal é de aproximadamente 60 , metros.

Resposta

O alcance horizontal da bola é de aproximadamente 60 metros.

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