Seja
o número de caras, e
o número de coroas quando são lançadas 2 moedas. Calcular média e variância de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos duas moedas sendo lançadas. Definimos
como o número de caras e
como o número de coroas obtidas nesses lançamentos. Nosso objetivo é calcular a média e a variância de uma nova variável
, que é dada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todos os possíveis resultados quando lançamos duas moedas. Cada moeda pode dar cara © ou coroa (K), então as combinações são:
- Cara e Cara (CC)
- Cara e Coroa (CK)
- Coroa e Cara (KC)
- Coroa e Coroa (KK)
Passo 3
Agora, para cada resultado, vamos determinar os valores de
(número de caras) e
(número de coroas):
- CC:
, - CK:
, - KC:
, - KK:
,
Assumindo que todas as combinações são igualmente prováveis, cada uma tem uma probabilidade de
.
Passo 4
Vamos calcular a média de
. A média (ou esperança) de uma variável aleatória é dada pela soma dos valores possíveis multiplicados por suas respectivas probabilidades.
Calculando
para cada caso:
- CC:
- CK:
- KC:
- KK:
Agora, a média de
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a variância de
. A variância mede o quanto os valores de
estão espalhados em relação à média. A fórmula para a variância é:
Primeiro, vamos calcular
:
Já sabemos que
, então:
Resposta
A média de
é
e a variância de
é
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
eventos sobre o mesmo espaço amostral
tais que
,
e
. Calcule:
(a) .
(b) .
© .
(a)
(b)
©
Um jogador
paga
a
e lança um dado. Se sair face 3 , ganha
. Se sair faces 4,5 ou 6 , perde. Se sair faces 1 ou 2 , tem o direito de jogar novamente. Desta vez lança dois dados. Se sair duas faces 6 , ganha
. Se sair uma face 6, recebe o dinheiro pago de volta. Nos demais casos, perde. Seja
o lucro líquido do jogador
nesse jogo.
Determinar:
a) Distribuição de probabilidade de ;
Determinar:
a) Distribuição de probabilidade de
Mostre que, se
e
são independentes, tambem o serão
e
e
e
e
.
Temos 5 urnas cada uma com 6 bolas. Duas destas urnas (tipo
) têm 3 bolas brancas, duas outras (tipo
) têm 2 bolas brancas e a última urna (tipo
) tem 6 bolas brancas. Escolhemos uma urna ao acaso e dela retiramos uma bola. Qual é a probabilidade da bola retirada ser uma bola branca?