Seja X o número de caras, e Y o número de coroas quando são lançadas 2 moedas. Calcular média e variância de Z=2 X+Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos duas moedas sendo lançadas. Definimos X como o número de caras e Y como o número de coroas obtidas nesses lançamentos. Nosso objetivo é calcular a média e a variância de uma nova variável Z, que é dada por Z = 2X + Y.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todos os possíveis resultados quando lançamos duas moedas. Cada moeda pode dar cara © ou coroa (K), então as combinações são:
  1. Cara e Cara (CC)
  2. Cara e Coroa (CK)
  3. Coroa e Cara (KC)
  4. Coroa e Coroa (KK)

Passo 3

Agora, para cada resultado, vamos determinar os valores de X (número de caras) e Y (número de coroas):
  1. CC: X = 2, Y = 0
  2. CK: X = 1, Y = 1
  3. KC: X = 1, Y = 1
  4. KK: X = 0, Y = 2
Assumindo que todas as combinações são igualmente prováveis, cada uma tem uma probabilidade de 14.

Passo 4

Vamos calcular a média de Z = 2X + Y. A média (ou esperança) de uma variável aleatória é dada pela soma dos valores possíveis multiplicados por suas respectivas probabilidades.
Calculando Z para cada caso:
  1. CC: Z = 2(2) + 0 = 4
  2. CK: Z = 2(1) + 1 = 3
  3. KC: Z = 2(1) + 1 = 3
  4. KK: Z = 2(0) + 2 = 2
Agora, a média de Z é:
E[Z] = (4) cdot 14 + (3) cdot 14 + (3) cdot 14 + (2) cdot 14 = 4 + 3 + 3 + 24 = 124 = 3

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância de Z. A variância mede o quanto os valores de Z estão espalhados em relação à média. A fórmula para a variância é:
Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2
Primeiro, vamos calcular E[Z^2]:
E[Z^2] = (4)^2 cdot 14 + (3)^2 cdot 14 + (3)^2 cdot 14 + (2)^2 cdot 14 = 16 + 9 + 9 + 44 = 384 = 9.5
Já sabemos que E[Z] = 3, então:
Var(Z) = 9.5 - (3)^2 = 9.5 - 9 = 0.5

Resposta

A média de Z é 3 e a variância de Z é 0.5.

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