Seja o número de caras, e o número de coroas quando são lançadas 2 moedas. Calcular média e variância de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos duas moedas sendo lançadas. Definimos como o número de caras e como o número de coroas obtidas nesses lançamentos. Nosso objetivo é calcular a média e a variância de uma nova variável , que é dada por .

Passo 2

Primeiro, vamos listar todos os possíveis resultados quando lançamos duas moedas. Cada moeda pode dar cara © ou coroa (K), então as combinações são:
  1. Cara e Cara (CC)
  2. Cara e Coroa (CK)
  3. Coroa e Cara (KC)
  4. Coroa e Coroa (KK)

Passo 3

Agora, para cada resultado, vamos determinar os valores de (número de caras) e (número de coroas):
  1. CC: ,
  2. CK: ,
  3. KC: ,
  4. KK: ,
Assumindo que todas as combinações são igualmente prováveis, cada uma tem uma probabilidade de .

Passo 4

Vamos calcular a média de . A média (ou esperança) de uma variável aleatória é dada pela soma dos valores possíveis multiplicados por suas respectivas probabilidades.
Calculando para cada caso:
  1. CC:
  2. CK:
  3. KC:
  4. KK:
Agora, a média de é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância de . A variância mede o quanto os valores de estão espalhados em relação à média. A fórmula para a variância é:
Primeiro, vamos calcular :
Já sabemos que , então:

Resposta

A média de é e a variância de é .

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Sejam e eventos sobre o mesmo espaço amostral tais que , e . Calcule:
(a) .
(b) .
© .
Um jogador paga a e lança um dado. Se sair face 3 , ganha . Se sair faces 4,5 ou 6 , perde. Se sair faces 1 ou 2 , tem o direito de jogar novamente. Desta vez lança dois dados. Se sair duas faces 6 , ganha . Se sair uma face 6, recebe o dinheiro pago de volta. Nos demais casos, perde. Seja o lucro líquido do jogador nesse jogo.
Determinar:
a) Distribuição de probabilidade de ;
Mostre que, se e são independentes, tambem o serão e e e e .
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