Sejam A, B e C eventos sobre o mesmo espaço amostral Omega tais que P(A)=8 / 16, P(B)=9 / 16, P[(B cap C) mid A)]=1 / 8 e P[(A cap C^c) mid B]=2 / 9. Calcule:
(a) P(A cap B cap C).
(b) P(A cap B).
© P(A cup B).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! A gente tem três eventos , e com algumas probabilidades dadas. O que a gente precisa calcular são três coisas: , e . Para isso, vamos usar as regras básicas de probabilidade, como a definição de probabilidade condicional e a regra da soma.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular P(A cap B cap C) = P[(B cap C) mid A] times P(A) = 18 times 12 = 116 . Sabemos que e . A probabilidade conjunta pode ser encontrada multiplicando a probabilidade condicional pela probabilidade de :

Passo 3

Agora, vamos para P(A cap B) = P(A cap B cap C) + P(A cap B cap C^c) . Sabemos que:
P(A mid B) = P(A cap B)P(B) Rightarrow P(A cap B) = P(A mid B) times P(B)
Já calculamos P(A cap C^c mid B) = 29 Rightarrow P(A cap C^c cap B) = 29 times 916 = 216 = 18 . Para encontrar P(A cap B) = 116 + 18 = 116 + 216 = 316 , podemos usar a probabilidade condicional . Primeiro, precisamos achar :
Dado que , temos:
Então:

Passo 4

Por fim, vamos calcular P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B) . Para isso, usamos a fórmula da união de dois eventos:
P(A cup B) = 816 + 916 - 316 = 8 + 9 - 316 = 1416 = 78
Substituindo os valores que temos:

Resposta

(a)
(b)
©

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