"
nesse integral∫x.sen(2x) dx
"

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x cdot sin(2x) , dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente uma integral que envolve o produto de uma função polinomial x e uma função trigonométrica sin(2x). Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar quais partes da integral vão ser u e dv na fórmula de integração por partes, que é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Normalmente, escolhemos u como a parte que fica mais simples quando derivada, e dv como a parte que é fácil de integrar.

Passo 3

Vamos definir:
u = x Rightarrow du = dx
dv = sin(2x) , dx Rightarrow v = -12 cos(2x)
Aqui, integramos sin(2x) para encontrar v, lembrando que a integral de sin(ax) é -1a cos(ax).

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x cdot sin(2x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot (-12 cos(2x)) - integral (-12 cos(2x)) cdot dx
Simplificando:
= -x2 cos(2x) + 12 integral cos(2x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral integral cos(2x) , dx. Sabemos que a integral de cos(ax) é 1a sin(ax), então:
integral cos(2x) , dx = 12 sin(2x)

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
-x2 cos(2x) + 12 cdot 12 sin(2x) = -x2 cos(2x) + 14 sin(2x)

Resposta

Portanto, a integral integral x cdot sin(2x) , dx é igual a:
-x2 cos(2x) + 14 sin(2x) + C
Onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados