No jogo da megasena, são sorteados 6 números dentre os números de 1 a 60. Um apostador deve marcar em cada bilhete entre 6 e 15 números.
(a) Qual é a probabilidade de que um apostador acerte os 6 números sorteados sabendo que ele apostou apenas 1 bilhete com 6 números? E se ele apostar um bilhete com 7 números? Em quantas vezes ele aumentou sua chance de ganhar?

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. No jogo da megasena, são sorteados 6 números de um total de 60. O apostador pode marcar entre 6 e 15 números no seu bilhete. Precisamos calcular a probabilidade de acertar os 6 números sorteados se o apostador fizer duas tipos de apostas: uma com 6 números e outra com 7 números. Além disso, queremos saber quanto a chance de ganhar aumentou ao apostar com 7 números comparado a apostar com 6.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular probabilidades em situações de combinações. Quando queremos saber a probabilidade de um evento acontecer, usamos a fórmula:
P = Número de casos favoráveisNúmero total de casos possíveis úáúí
No caso da megasena, o número total de combinações possíveis de 6 números escolhidos entre 60 é dado por:
C(60,6) = 60!6!(60-6)!

Passo 3

Agora, vamos calcular o número de casos favoráveis para cada tipo de aposta.
Aposta com 6 números:
Se o apostador escolhe exatamente 6 números, só há uma combinação que será vencedora, que é a combinação que coincide exatamente com os 6 números sorteados.
Cfav = 1
Aposta com 7 números:
Se o apostador escolhe 7 números, ele está basicamente fazendo várias apostas de 6 números dentro desses 7. O número de combinações vencedoras dentro dos 7 números escolhidos é:
C(7,6) = 7!6!(7-6)! = 7
Então, há 7 combinações vencedoras possíveis.

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade para cada tipo de aposta usando a fórmula mencionada.
Probabilidade com 6 números:
P6 = 1C(60,6) = 160!6!54!
Probabilidade com 7 números:
P7 = 7C(60,6) = 760!6!54!

Passo 5

Para facilitar, vamos calcular o valor de C(60,6) = 60 times 59 times 58 times 57 times 56 times 556 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 50.063.860 :

Passo 6

Substituindo na fórmula das probabilidades:
Probabilidade com 6 números:
P6 = 150.063.860 approx 1,998 times 10^-8
Probabilidade com 7 números:
P7 = 750.063.860 approx 1,398 times 10^-7

Passo 7

Para entender quanto a chance aumentou ao apostar com 7 números em vez de 6, podemos comparar as duas probabilidades:
P7P6 = 71 = 7
Isso significa que apostar com 7 números aumenta a chance de ganhar em 7 vezes comparado a apostar com 6 números.

Resposta

A probabilidade de acertar os 6 números com um bilhete de 6 números é aproximadamente . Apostando com 7 números, a probabilidade aumenta para aproximadamente , ou seja, a chance de ganhar foi aumentada em 7 vezes.

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P(A)=12, P(B)=13, P(C)=14, P(A cap B)=15, P(A cap C)=16 e P(B cap C)=0
Calcule:
(e) P((A cap B) cup C).
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