Em um jogo de pôquer, 4 amigos resolveram apostar tudo o que tinham (conhecido como dar all in) em uma determinada rodada. As apostas foram as seguintes: O jogador A apostou 500 fichas, o jogador B apostou 700 fichas e o jogador C apostou 400 fichas. O jogador D, para fazer suspense, apostou x fichas e falou: As nossas apostas formam, nessa ordem, uma proporção. Com base nessas informações, a aposta do jogador D foi de:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos 4 jogadores de pôquer que fizeram apostas: o jogador A apostou 500 fichas, o B apostou 700, o C apostou 400 e o D apostou x fichas. Eles disseram que, nessa ordem, as apostas formam uma proporção. Nosso objetivo é descobrir quanto o jogador D apostou, ou seja, encontrar o valor de x.
Matéria envolvida: Proporções e razões.
O que vamos precisar: Entender como as proporções funcionam e como aplicá-las para encontrar o valor desconhecido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma proporção. Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Por exemplo, se temos duas razões
, isso forma uma proporção.
No nosso caso, temos uma sequência de apostas que formam uma proporção. Isso significa que a razão entre cada par de apostas consecutivas é constante.
Então, temos:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 3
Vamos simplificar essas frações para facilitar os cálculos.
Primeiro, simplificamos
:
Em seguida, simplificamos
:
Agora, verificamos se as duas primeiras razões são iguais:
Hmm, isso não faz muito sentido, já que as razões não são iguais. Parece que houve um mal-entendido na interpretação da proporção.
Passo 4
Vamos reconsiderar o que significa que as apostas formam uma proporção. Talvez não seja que todas as razões sejam iguais, mas que as apostas estão em proporção, ou seja, cada aposta é um múltiplo constante da anterior.
Isso seria uma sequência geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum $ r $.
Então, a sequência seria:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 5
Vamos encontrar o valor da razão $ r $.
Primeiro, de $ 500r = 700 $:
Agora, verificamos se essa razão funciona para o próximo par:
$ 700r = 400 $:
Não, não funciona. Portanto, nossa interpretação inicial está incorreta.
Passo 6
Pode ser que as apostas estejam em proporção composta, onde a relação entre A e B é a mesma que entre C e D.
Ou seja:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, resolvemos essa equação para encontrar x. Vamos multiplicar em cruz:
Agora, isolamos o x dividindo ambos os lados por 500:
Resposta
O jogador D apostou 560 fichas.