Em um jogo de pôquer, 4 amigos resolveram apostar tudo o que tinham (conhecido como dar all in) em uma determinada rodada. As apostas foram as seguintes: O jogador A apostou 500 fichas, o jogador B apostou 700 fichas e o jogador C apostou 400 fichas. O jogador D, para fazer suspense, apostou x fichas e falou: As nossas apostas formam, nessa ordem, uma proporção. Com base nessas informações, a aposta do jogador D foi de:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos 4 jogadores de pôquer que fizeram apostas: o jogador A apostou 500 fichas, o B apostou 700, o C apostou 400 e o D apostou x fichas. Eles disseram que, nessa ordem, as apostas formam uma proporção. Nosso objetivo é descobrir quanto o jogador D apostou, ou seja, encontrar o valor de x.
Matéria envolvida: Proporções e razões.
O que vamos precisar: Entender como as proporções funcionam e como aplicá-las para encontrar o valor desconhecido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma proporção. Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Por exemplo, se temos duas razões ab = cd, isso forma uma proporção.
No nosso caso, temos uma sequência de apostas que formam uma proporção. Isso significa que a razão entre cada par de apostas consecutivas é constante.
Então, temos:
AB = BC = CD
Substituindo os valores conhecidos:
500700 = 700400 = 400x

Passo 3

Vamos simplificar essas frações para facilitar os cálculos.
Primeiro, simplificamos 500700:
500700 = 57
Em seguida, simplificamos 700400:
700400 = 74
Agora, verificamos se as duas primeiras razões são iguais:
57 neq 74
Hmm, isso não faz muito sentido, já que as razões não são iguais. Parece que houve um mal-entendido na interpretação da proporção.

Passo 4

Vamos reconsiderar o que significa que as apostas formam uma proporção. Talvez não seja que todas as razões sejam iguais, mas que as apostas estão em proporção, ou seja, cada aposta é um múltiplo constante da anterior.
Isso seria uma sequência geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum $ r $.
Então, a sequência seria:
r
Substituindo os valores conhecidos:
A, A times r = B, B times r = C, C times r = D

Passo 5

Vamos encontrar o valor da razão $ r $.
Primeiro, de $ 500r = 700 $:
r
Agora, verificamos se essa razão funciona para o próximo par:
$ 700r = 400 $:
500r = 700
Não, não funciona. Portanto, nossa interpretação inicial está incorreta.

Passo 6

Pode ser que as apostas estejam em proporção composta, onde a relação entre A e B é a mesma que entre C e D.
Ou seja:
AB = CD
Substituindo os valores:
500700 = 400x

Passo 7

Agora, resolvemos essa equação para encontrar x. Vamos multiplicar em cruz:
500 times x = 700 times 400
500x = 280000
Agora, isolamos o x dividindo ambos os lados por 500:
x = 280000500 = 560

Resposta

O jogador D apostou 560 fichas.

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