Resolva o sistema abaixo utilizando a regra de Cramer. x + 3y - z = 02x + y + z = 13x - y + z = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver um sistema de três equações usando a regra de Cramer. Isso está ligado a sistemas lineares e o cálculo de determinantes. Vamos precisar montar a matriz dos coeficientes, calcular o determinante dessa matriz e depois calcular os determinantes das matrizes substituídas para cada variável (x, y e z).

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema de equações:
x + 3y - z = 0 2x + y + z = 1 3x - y + z = 0

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz dos coeficientes $ A $:
A

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz $ A $, ou seja, $ \det(A) $. Para uma matriz 3x3, usamos a seguinte regra:
A
Aplicando os valores:
det(A)
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
det(A) = 1 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot (-1)) - 3 cdot (2 cdot 1 - 1 cdot 3) + (-1) cdot (2 cdot (-1) - 1 cdot 3)

Passo 5

Vamos achar $ x $ usando a regra de Cramer. Para isso, substituímos a coluna de $ x $ pelos termos constantes:
x
Calculando $ \det(A_x) $:
x
Ax = 0 & 3 & -1 1 & 1 & 1 0 & -1 & 1
Então,
det(Ax)

Passo 6

Agora, vamos encontrar $ y $. Substituímos a coluna de $ y $ pelos termos constantes:
y
Calculando $ \det(A_y) $:
y
Ay = 1 & 0 & -1 2 & 1 & 1 3 & 0 & 1
Então,
det(Ay)

Passo 7

Por último, vamos encontrar $ z $. Substituímos a coluna de $ z $ pelos termos constantes:
z
Calculando $ \det(A_z) $:
z
Az = 1 & 3 & 0 2 & 1 & 1 3 & -1 & 0
Então,
det(Az)

Resposta

A solução do sistema é:
x = -0,2, y = 0,4, z = 1

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