Um jornal registra em média 3 erros ortográficos a cada 5 páginas impressas. Qual a probabilidade de que um jornal com 30 páginas contenha exatamente 8 erros?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício diz que um jornal, em média, tem 3 erros de ortografia a cada 5 páginas impressas. A gente quer saber qual a probabilidade de um jornal com 30 páginas ter exatamente 8 erros. Vamos usar probabilidade para resolver isso, mais especificamente a distribuição de Poisson, que é ótima para contar eventos que acontecem de forma independente e a uma taxa média conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a taxa média de erros por página. Se tem 3 erros a cada 5 páginas, então por página é:
lambdapor página = 35 = 0,6 erros por página áá
Agora, para 30 páginas, a taxa média total ( lambda) vai ser:
lambda = 0,6 times 30 = 18 erros

Passo 3

Agora que temos a taxa média de erros ( lambda = 18), vamos usar a distribuição de Poisson para calcular a probabilidade de exatamente 8 erros acontecerem em 30 páginas. A fórmula da Poisson é:
P(k) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • P(k) é a probabilidade de exatamente k erros.
  • e é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).
  • lambda é a taxa média de erros.
  • k! é o fatorial de k.

Passo 4

Agora, substituindo os valores na fórmula:
P(8) = e^-18 times 18^88!
Vamos calcular cada parte:
  1. Calculando e^-18:
e^-18 approx 1,5229979744712632 times 10^-8
  1. Calculando 18^8:
18^8 = 11019960576
  1. Calculando 8! (fatorial de 8):
8! = 40320
Agora, juntando tudo:
P(8) = 1,5229979744712632 times 10^-8 times 1101996057640320 approx 0,041

Resposta

A probabilidade de que um jornal com 30 páginas contenha exatamente 8 erros é aproximadamente 4,1%.

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