Utilize a regra da cadeia para encontrar a derivada de w = 2x.y com relação a t ao longo do caminho x=
2cost e y = 2sent.
2cost e y = 2sent.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de $ w = 2x \cdot y $ em relação a $ t $, dado que $ x = 2\cos t $ e $ y = 2\sin t $. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica de cálculo usada para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas. Temos $ w $ em termos de $ x $ e $ y $, e $ x $ e $ y $ em termos de $ t $. Isso significa que $ w $ é uma função composta de $ t $ através de $ x $ e $ y $.
Passo 3
Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada de $ w $ em relação a $ t $ é dada por:
Aqui, $ \frac{\partial w}{\partial x} $ e $ \frac{\partial w}{\partial y} $ são as derivadas parciais de $ w $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, derivamos $ x $ e $ y $ em relação a $ t $:
Passo 6
Substituímos essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
Passo 7
Agora, substituímos $ x = 2\cos t $ e $ y = 2\sin t $ na expressão:
Passo 8
Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica $ \cos(2t) = \cos^2 t - \sin^2 t $:
Resposta
A derivada de $ w $ em relação a $ t $ é: