Utilize a regra da cadeia para encontrar a derivada de w = 2x.y com relação a t ao longo do caminho x=
2cost e y = 2sent.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de $ w = 2x \cdot y $ em relação a $ t $, dado que $ x = 2\cos t $ e $ y = 2\sin t $. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica de cálculo usada para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas. Temos $ w $ em termos de $ x $ e $ y $, e $ x $ e $ y $ em termos de $ t $. Isso significa que $ w $ é uma função composta de $ t $ através de $ x $ e $ y $.

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada de $ w $ em relação a $ t $ é dada por:
w
Aqui, $ \frac{\partial w}{\partial x} $ e $ \frac{\partial w}{\partial y} $ são as derivadas parciais de $ w $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial wpartial x = 2y e partial wpartial y = 2x

Passo 5

Agora, derivamos $ x $ e $ y $ em relação a $ t $:
x
y

Passo 6

Substituímos essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
dwdt = 2y cdot (-2sin t) + 2x cdot 2cos t
dwdt = -4ysin t + 4xcos t

Passo 7

Agora, substituímos $ x = 2\cos t $ e $ y = 2\sin t $ na expressão:
x = 2cos t
y = 2sin t

Passo 8

Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica $ \cos(2t) = \cos^2 t - \sin^2 t $:
cos(2t) = cos^2 t - sin^2 t

Resposta

A derivada de $ w $ em relação a $ t $ é:
w

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