Sejam os vetores u=(2,1,3) e v=(4,2,7) em R^3. Faça o que se pede:
b) O vetor (0,2,1) pode ser escrito como combinação linear de u e v ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois vetores no espaço tridimensional: a cdot u + b cdot v = (0, 2, 1) e . A pergunta é se o vetor pode ser formado combinando linearmente e . Isso significa que queremos descobrir se existem números e tais que:
Para resolver isso, vamos precisar configurar e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a combinação linear a cdot (2, 1, 3) + b cdot (4, 2, 7) = (0, 2, 1) de forma explícita:
2a + 4b = 0 (componente x) 1a + 2b = 2 (componente y) 3a + 7b = 1 (componente z)
Isso nos dá três equações correspondentes a cada componente do vetor:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Começamos com as duas primeiras equações:
2a + 4b = 0 a + 2b = 2
Vamos resolver a segunda equação para a = 2 - 2b :

Passo 4

Substituímos 2(2 - 2b) + 4b = 0 4 - 4b + 4b = 0 4 = 0 na primeira equação:
Isso é uma contradição, o que significa que não há solução para e que satisfaça as duas primeiras equações ao mesmo tempo.

Passo 5

Mesmo que tentássemos usar a terceira equação, já vimos que há uma contradição. Isso indica que não existe uma combinação linear de e que resulte no vetor .

Resposta

Não, o vetor não pode ser escrito como combinação linear dos vetores e , pois o sistema de equações resultante não possui solução.

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