Seja um operador linear definido por . Mostre que é um isomorfismo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um operador linear que mapeia em . Nosso objetivo é mostrar que é um isomorfismo. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como operadores lineares, isomorfismos, e propriedades de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um operador linear. Um operador linear é uma função que satisfaz duas propriedades:
Adição:
Multiplicação por escalar:
Essas propriedades garantem que a função se comporta de maneira “linear”.
Passo 3
Agora, o que é um isomorfismo? Em álgebra linear, um isomorfismo é um operador linear que é bijetivo, ou seja, é injetivo e sobrejetivo ao mesmo tempo. Isso significa que cada elemento em tem exatamente uma imagem e vice-versa. Para mostrar que é um isomorfismo, precisamos provar que é invertível.
Passo 4
Para determinar se é invertível, podemos ver se a matriz associada a é invertível. A matriz de um operador linear é construída a partir das imagens dos vetores da base canônica. No nosso caso, a base canônica de é , e .
Passo 5
Segundo o enunciado:
Não foi dado , então assumimos que para que seja completamente definido.
Passo 6
Com isso, a matriz associada a é a matriz identidade :
A matriz identidade tem uma propriedade importante: seu determinante é 1, que é diferente de zero.
Passo 7
Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Como o determinante de é 1 (), concluímos que é invertível.
Passo 8
Como é invertível, isso significa que existe um operador linear tal que . Portanto, é bijetivo.
Resposta
Assim, mostramos que é um isomorfismo porque é um operador linear invertível.