Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funções. Determine os valores de
para os quais a série converge.
.
Passo 1
Beleza! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a série de Maclaurin para a função em torno de
. Além disso, vamos descobrir para quais valores de
essa série converge. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de Taylor/Maclaurin e conceitos básicos de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Maclaurin é um tipo especial de série de Taylor onde o ponto de expansão
é zero. A série de Maclaurin para é conhecida e é dada por:
Isso significa que podemos escrever como uma soma infinita de termos envolvendo potências ímpares de
.
Passo 3
Agora, como nossa função é , vamos dividir cada termo da série de por
:
Ao simplificar, tiramos o
de baixo de cada termo:
Então, a série de Maclaurin para é uma soma infinita de termos envolvendo potências pares de
.
Passo 4
Para saber para quais valores de
essa série converge, observamos que a série de tem raio de convergência infinito, ou seja, ela converge para todo
real. Como dividimos por
, exceto em
(onde a função originalmente está definida como o limite), a série resultante também terá raio de convergência infinito.
Resposta
A série de Maclaurin para é:
E essa série converge para todos os valores de
reais.
Exercícios relacionados
Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
3. .
3.
Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
10. ( ) A série numérica alternada é absolutamente convergente para
.
10. ( ) A série numérica alternada
Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
4.
4.
Sejam
, defina
por
, mostre que
.