Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
4. ( ) Se e então a série é dita condicionalmente convergente. A série harmônica alternada é um exemplo de uma série numérica condicionalmente convergente ou simplesmente convergente e a série numérica é um exemplo de uma série numérica absolutamente convergente.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma afirmação sobre séries numéricas:
Se a série converge, ou seja, soma a um valor finito, mas a série dos valores absolutos diverge, então a série original é dita condicionalmente convergente.
A série harmônica alternada é mencionada como um exemplo de série numericamente condicionalmente convergente ou simplesmente convergente.
A série é apresentada como um exemplo de série numericamente absolutamente convergente.
Vamos analisar cada parte para julgar se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser condicionalmente convergente ou absolutamente convergente.
Convergência absoluta: Uma série converges absolutamente se a série dos valores absolutos também converge. Isso significa que, mesmo se mudarmos os sinais dos termos, a soma ainda será finita.
Convergência condicional: Uma série converge condicionalmente se a série original converge, mas a série dos valores absolutos diverge. Aqui, a convergência depende dos sinais alternados dos termos.
Passo 3
Analisando a primeira parte da afirmação:
“Se e , então a série é dita condicionalmente convergente.”
Isso está correto, de acordo com as definições que acabamos de revisar. Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não, ela é chamada de condicionalmente convergente.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte:
“A série harmônica alternada é um exemplo de uma série numérica condicionalmente convergente ou simplesmente convergente.”
A série harmônica alternada é dada por:
Sabemos que a série harmônica diverge, mas a série harmônica alternada converge por causa dos sinais alternados (teste da série alternada). Contudo, a série harmônica alternada não converge absolutamente, já que a série dos valores absolutos é a série harmônica, que diverge. Portanto, ela é condicionalmente convergente.
Passo 5
Finalmente, vamos analisar a terceira parte:
“A série numérica é um exemplo de uma série numérica absolutamente convergente.”
Para verificar se essa série é absolutamente convergente, consideramos a série dos valores absolutos:
A série sumn=1^infty 1n^3 é uma série p com p = 3 > 1, o que sabemos que converge absolutamente. Portanto, a série original também converge absolutamente.
Resposta
V. A afirmação está correta. Se sumn=1^infty an converge mas sumn=1^infty|an| diverge, a série é condicionalmente convergente. A série harmônica alternada é um exemplo de série condicionalmente convergente, e sumn=1^infty(-1)^n+1 1n^3 é um exemplo de série absolutamente convergente.