Encontre máximos e mínimos condicionados:
sobre a elipse
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os máximos e mínimos da função
restrita à elipse
. Isso faz parte do estudo de otimização com restrições, onde usamos o método dos multiplicadores de Lagrange para achar os pontos extremais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os multiplicadores de Lagrange. Esse método nos ajuda a otimizar uma função
sujeita a uma restrição
. A ideia é achar onde o gradiente de
é paralelo ao gradiente de
, ou seja, existe um número
tal que:
Passo 3
Vamos calcular os gradientes de
e
. A função que queremos otimizar é
, então:
A restrição é
, então:
Passo 4
De acordo com o método dos Lagrangeanos, temos que:
Isso gera o sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver as equações (1) e (2) para encontrar
e relacionar
e
. Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Passo 6
Agora, substituímos
na restrição (3):
Passo 7
Com os valores de
, encontramos
usando
:
Passo 8
Agora temos os pontos candidatos para máximos e mínimos:
Passo 9
Vamos calcular
em cada um desses pontos:
-
:
-
:
-
:
-
:
Resposta
Os pontos de máximos e mínimos condicionados são:
- Máximo:
nos pontos e . - Mínimo:
nos pontos e .
Exercícios relacionados
Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
4. ( ) Se e
então a série é dita condicionalmente convergente. A série harmônica alternada é um exemplo de uma série numérica condicionalmente convergente ou simplesmente convergente e a série numérica
é um exemplo de uma série numérica absolutamente convergente.
4. ( ) Se
Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
2. ( ) Se então
. Segue desse resultado que toda série absolutamente convergente é convergente.
2. ( ) Se
Nos exercícios abaixo, verifique se a série converge absolutamente. Qual teste foi usado?
.
Nos exercícios abaixo, verifique se a série converge absolutamente. Qual teste foi usado?
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