Encontre máximos e mínimos condicionados: f(x, y) = x * y sobre a elipse x^2 + 3y^2 = 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os máximos e mínimos da função restrita à elipse . Isso faz parte do estudo de otimização com restrições, onde usamos o método dos multiplicadores de Lagrange para achar os pontos extremais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os multiplicadores de Lagrange. Esse método nos ajuda a otimizar uma função sujeita a uma restrição . A ideia é achar onde o gradiente de é paralelo ao gradiente de , ou seja, existe um número tal que:

Passo 3

Vamos calcular os gradientes de e . A função que queremos otimizar é , então:
A restrição é , então:

Passo 4

De acordo com o método dos Lagrangeanos, temos que:
Isso gera o sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver as equações (1) e (2) para encontrar e relacionar e . Da equação (1):
Substituindo na equação (2):

Passo 6

Agora, substituímos na restrição (3):

Passo 7

Com os valores de , encontramos usando :

Passo 8

Agora temos os pontos candidatos para máximos e mínimos:

Passo 9

Vamos calcular em cada um desses pontos:
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Resposta

Os pontos de máximos e mínimos condicionados são:
  • Máximo: nos pontos e .
  • Mínimo: nos pontos e .

Exercícios relacionados

Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
4. ( ) Se sumn=1^infty an e sumn=1^infty|an|=infty então a série é dita condicionalmente convergente. A série harmônica alternada é um exemplo de uma série numérica condicionalmente convergente ou simplesmente convergente e a série numérica sumn=1^infty(-1)^n+1 1n^3 é um exemplo de uma série numérica absolutamente convergente.
Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
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Nos exercícios abaixo, verifique se a série converge absolutamente. Qual teste foi usado?
sumn=1^infty (-1)^n+1(n+2)!.
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sumk=1^infty (-1)^k+1 kln k.