Nos exercícios abaixo, verifique se a série converge absolutamente. Qual teste foi usado? .
Passo 1
Beleza, vamos que vamos! O enunciado pede para verificar se a série converge de forma absoluta. Estamos lidando com séries infinitas e vamos usar testes de convergência para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender o que é convergência absoluta e aplicar um teste adequado, provavelmente o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela também converge. Ou seja, se conseguirmos mostrar que converge, então a série original também converge absolutamente.
Agora, precisamos analisar se essa nova série converge.
Passo 4
Para verificar a convergência dessa série, vamos usar o teste da razão. Esse teste é muito útil para séries com termos que envolvem fatoriais ou exponenciais. A ideia é calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.
Passo 5
No nosso caso, an = 1(n+2)!. Vamos calcular:
an+1an = 1(n+3)!1(n+2)! = (n+2)!(n+3)! = 1n+3
Então, o limite fica:
L = limn to infty 1n+3 = 0
Passo 6
Como L = 0, que é menor que 1, pelo teste da razão, a série sumn=1^infty 1(n+2)! converge. Portanto, a série original converge absolutamente.
Resposta
A série sumn=1^infty (-1)^n+1(n+2)! converge absolutamente pelo teste da razão.