Nos exercícios abaixo, verifique se a série converge absolutamente. Qual teste foi usado?
sumn=1^infty (-1)^n+1(n+2)!.

Passo 1

Beleza, vamos que vamos! O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^infty (-1)^n+1(n+2)! converge de forma absoluta. Estamos lidando com séries infinitas e vamos usar testes de convergência para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender o que é convergência absoluta e aplicar um teste adequado, provavelmente o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela também converge. Ou seja, se conseguirmos mostrar que sumn=1^infty | (-1)^n+1(n+2)! | converge, então a série original também converge absolutamente.

Passo 3

Vamos simplificar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n+1(n+2)! | = sumn=1^infty 1(n+2)!
Agora, precisamos analisar se essa nova série converge.

Passo 4

Para verificar a convergência dessa série, vamos usar o teste da razão. Esse teste é muito útil para séries com termos que envolvem fatoriais ou exponenciais. A ideia é calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 5

No nosso caso, an = 1(n+2)!. Vamos calcular:
an+1an = 1(n+3)!1(n+2)! = (n+2)!(n+3)! = 1n+3
Então, o limite fica:
L = limn to infty 1n+3 = 0

Passo 6

Como L = 0, que é menor que 1, pelo teste da razão, a série sumn=1^infty 1(n+2)! converge. Portanto, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n+1(n+2)! converge absolutamente pelo teste da razão.

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