Juliana tem oito cartões de papel retangulares iguais. Se ela enfileirar todos os cartões juntando lados de mesma medida, ela pode obter um retângulo de perímetro 236 cm ou um retângulo de perímetro 376 cm. Qual é a área de cada cartão?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A Juliana tem oito cartões de papel retangulares iguais. Se ela alinhar esses cartões juntando os lados que têm o mesmo comprimento, ela consegue formar dois tipos de retângulos diferentes: um com perímetro de 236 cm e outro com perímetro de 376 cm. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a área de cada cartão.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria, especificamente sobre retângulos, perímetro e área. Vamos precisar montar um sistema de equações para encontrar as dimensões do cartão (comprimento e largura) e, depois, calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o comprimento do cartão de $ L $ e a largura de $ W $. Como todos os cartões são iguais, essas medidas são as mesmas para cada um deles.

Passo 3

Quando a Juliana alinha os oito cartões juntando os lados do comprimento, o comprimento total do novo retângulo formado será 8 vezes o comprimento do cartão, ou seja, $ 8L $. A largura continua sendo $ W 8L í P $) desse retângulo é dado por:
W

Passo 4

Agora, se ela alinhar os oito cartões juntando os lados da largura, a largura total do novo retângulo será 8 vezes a largura do cartão, ou seja, $ 8W $. O comprimento permanece sendo $ L $. O perímetro desse retângulo é:
8W

Passo 5

Vamos agora montar as duas equações que obtivemos:
  1. 2 times (8L + W) = 236 implies 8L + W = 118
  2. 2 times (L + 8W) = 376 implies L + 8W = 188

Passo 6

Temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
8L + W = 118 L + 8W = 188
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de $ L $ e $ W $.

Passo 7

Primeiro, isolamos $ W $ na primeira equação:
W
Agora, substituímos esse valor de $ W $ na segunda equação:
W = 118 - 8L

Passo 8

Vamos resolver a equação:
L + 944 - 64L = 188
-63L + 944 = 188
-63L = 188 - 944
-63L = -756
L = -756-63 = 12 cm

Passo 9

Agora que sabemos que $ L = 12 $ cm, podemos encontrar $ W $ usando a equação que isolamos anteriormente:
L = 12

Passo 10

Finalmente, para encontrar a área de cada cartão, usamos a fórmula da área do retângulo:
Área = L times W = 12 cm times 22 cm = 264 cm^2 Á

Resposta

A área de cada cartão é 264 cm².

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