Determine um vetor normal ao plano:
c) que passa pelos pontos A(1,0,1) e B(2,2,1) e é paralelo ao vetor v=(1,-1,3);

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Precisamos encontrar um vetor normal a um plano que:
  • Passa pelos pontos e .
  • É paralelo ao vetor .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria analítica, especificamente o produto vetorial para encontrar vetores perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos achar um vetor que está no plano. Como o plano passa pelos pontos AB = B - A = (2-1, 2-0, 1-1) = (1, 2, 0) e , podemos calcular o vetor que vai de até :
Então, é um vetor dentro do plano.

Passo 3

Sabemos que o vetor é paralelo ao plano. Isso significa que também está no plano.
Agora, temos dois vetores no plano: e . Para encontrar um vetor normal ao plano, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos esses vetores.

Passo 4

Para achar um vetor perpendicular a AB times v = i & j & k 1 & 2 & 0 1 & -1 & 3 e AB times v = i(2 cdot 3 - 0 cdot (-1)) - j(1 cdot 3 - 0 cdot 1) + k(1 cdot (-1) - 2 cdot 1) , vamos usar o produto vetorial (ou produto cruzado). O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais.
Calculando = i(6) - j(3) + k(-1 - 2) :
= (6, -3, -3)
Desenvolvendo o determinante:

Passo 5

O vetor (6, -3, -3) div 3 = (2, -1, -1) é perpendicular ao plano. Podemos simplificar esse vetor dividindo cada componente por 3:

Resposta

Um vetor normal ao plano é .

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