Justifique convergência e divergência e calcule os limites, se possível, das seguintes sequências:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por
e precisamos determinar se ela converge ou diverge. Além disso, se convergir, devemos calcular o limite dessa sequência. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de limites de sequências e propriedades das funções contínuas, como a raiz quadrada.
Passo 2
Vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Observamos que dentro da raiz quadrada temos
. À medida que
fica maior,
se aproxima de zero porque o denominador cresce muito rapidamente.
Passo 3
Portanto, podemos calcular o limite da parte interna:
Agora, aplicando a função raiz quadrada, que é contínua, podemos passar o limite para fora:
Resposta
A sequência
é convergente e o seu limite é 1.
Exercícios relacionados
Justifique convergência e divergência das seguintes integrais impróprias
as calcule se posivel:
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(42)
(42)
Ache o volume (utilizando coordenadas polares) do sólido interior ao cilindro
, e abaixo do cone
. Faça um esboço do sólido.
Dica: Lembre-se que .
Dica: Lembre-se que
Justifique convergência e divergência das seguintes integrais impróprias
as calcule se posivel: