Justifique convergência e divergência e calcule os limites, se possível, das seguintes sequências:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por e precisamos determinar se ela converge ou diverge. Além disso, se convergir, devemos calcular o limite dessa sequência. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de limites de sequências e propriedades das funções contínuas, como a raiz quadrada.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito. Observamos que dentro da raiz quadrada temos . À medida que fica maior, se aproxima de zero porque o denominador cresce muito rapidamente.

Passo 3

Portanto, podemos calcular o limite da parte interna:
Agora, aplicando a função raiz quadrada, que é contínua, podemos passar o limite para fora:

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é 1.

Exercícios relacionados

Justifique convergência e divergência das seguintes integrais impróprias as calcule se posivel:
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(42)
Ache o volume (utilizando coordenadas polares) do sólido interior ao cilindro , e abaixo do cone . Faça um esboço do sólido.
Dica: Lembre-se que .
Justifique convergência e divergência das seguintes integrais impróprias as calcule se posivel: